适于医学图像实时压缩的小波基选择
摘 要：小波编码算法是图像压缩编码算法中的一种重要方法，在进行小波变换时，小波基的选取至关重要，它直接影响到变换速度和编码效率。在详细分析小波基的基本性质及其与图像编码的关系的基础上，选出数种典型小波基进行实验比较，得出小波基与实时图像压缩编码之间的关系。
关键词：小波变换;图像压缩编码;实时压缩；小波基
中图分类号：TP751.1 文献标识码：B 文章编号：1004373X(2008)1613603
Choice of Wavelet Base in Realtime Compression for Medicine Image
LI Yunfei.1,ZHU Anfu.2,ZHANG Jinli.3
(1.Weinan Teachers University,Weinan,714000,China;
2.Electronics Information College,Northwestern Polytechnical University,Xi′an,710072,China;3.Engineering College of Police Force,Xi′an, 710086,China)
Abstract：Wavelet decoder is an important algorithm for image compression.How to choose wavelet base for transform is crucial,because it impacts transform speed and coding efficiency.The characteristics of wavelet base and their effects on image coding are analyzed,and several typical wavelet bases are select to compare by means of the evaluation criteria.Through extensive experiments,the relative between wavelet and realtime image compression coding is given.
Keywords：wavelet transform;image compression coding;realtime compression;wavelet base
1 引 言
与DCT变换相比较，小波变换将原始图像数据与小波函数以及尺度函数进行内积运算，能够克服方块效应的影响。恢复后的图像误差小，同时对不同区域采用不同编码方法，可以较好地保持原图的信息，达到较高的压缩比，适于医学图像的实时压缩。
在将小波变换用于图像压缩时，并非所有的小波基都适合图像分解，小波基的选择直接影响到小波变换速度和恢复图像的效果，因此小波基的选择是图像压缩中的一个关键问题。本文从小波基的基本性质和小波基的评价标准2个方面加以分析比较，并结合医学图像的特点和压缩要求，给出适于医学图像实时压缩的最佳小波基。
2 小波基的基本性质分析
2.1 正交性和双正交性
小波基从正交性的角度划分有2类:正交与双正交。正交小波基对应的低通滤波器h和高通滤波器g正交。若C0为原信号的最高分辨率的抽样点则小波分解可描述如下：cm(k)=∑n∈zh(n－2k)cm－1(n) k∈z
dm(k)=∑n∈zg(n－2k)cm－1(n) k∈z其中，g(n)=(－1).n－1h(－n+1);∑h(n)=2。 cm为第m级分级低频子带；dm为第m级分级高频子带。重建公式为：cm－1(n)=∑j∈zh(n－2j)cm(j)+
∑j∈zg(n－2j)dm(j),n∈z 大部分正交小波基是无限支集的，相应的滤波器h和g也是无限冲激响应的，无法在计算机上实现，所以一般采用Daubechies系的紧支集正交小波作为小波基进行图像处理，最常用的是D2和D4小波。紧支集小波一般不具有对称性，惟一的正交对称的小波是Haar基，但是它的局部化性能较差。
双正交小波基由2个小波函数构成，ψ和它的对偶小波ψ_可双正交是指低通分析滤波器h和高通重建滤波器g~正交，低通重建滤波器h~和高通分析滤波器g正交，h和g对应分解小波ψ，h~和g~对应综合小波ψ_，对于双正交小波分解过程与正交小波相同。目前，广泛应用的双正交小波基是Daubechies双正交小波基。
2.2 紧支性
紧支性指的是若小波函数Ψ(t)在区间［a,b］外恒为零，称该小波函数紧支在这个区问上，具有紧支性，这样的小波基称为紧支集小波基，区间［a,b］称为小波基的紧支集，区间的宽度称为小波基的支撑宽度。支撑宽度越小，小波基的局部化能力越强，小波变换的计算复杂度越低，便于快速实现。
2.3 正则性
正则性表现为小波基的可微性，是小波函数光滑程度的一种描述，对于小波函数Ψ(t),正则性阶数r越大，正则性越好，收敛越快，其邻域的能量越集中。离散小波变换与一般的子带分解的重要区别就在于小波滤波器必须是正则的。对小波函数Ψ(t)的正则性越好，收敛越快。因为一个系数由于量化产生的误差在重建图像后，可能扩展到全局误差，该误差与离散小波成正比，所以正则性对避免重建图像的可见误差不失为一个较好的性质。一般地说，当图像的编码的速度要求较高，质量其次时，需要选择滤波器短的正交或双正交小波，但选择正交小波时，要求正则性要好，这样才有可能得到好一点的图像质量。对于双正交小波，Ψ(t)和其对偶小波的正则性不一定相同，而且编码时对图像质量的影响也不相同。当质量要求较高时，要选择的滤波器短的正交或双正交小波，但选择正交小波时，要求正则性要好。当图像本身比较光滑时，对偶小波的正则性越好，得到的图像质量就越高，因此，重建小波的正则性越好，得到的图像效果就越好。
2.4 消失矩
消失矩的大小决定了用小波逼近光滑函数时的收敛率。当图像光滑时，越大的消失矩将导致越小的小波系数，压缩比就有可能提高；而对不光滑的图像，将会有更多的大的小波系数。一般来说，消失距越大，压缩比就越大，要提高压缩比，就必须选择消失距大的小波。
通常，小波正则性和消失矩相互作用。实验证明在消失矩相同的情况下，正则性越好编码的效果越好；而在正则性相近的情况下，消失矩的阶数越高编码效果越好；相对而言，小波基函数的正则性比消失矩阶数大小更为重要。双正交小波和各自的正则性和消失矩对小波变换编码系统的影响也不相同，一般要求分解小波应有较高的消失矩，而合成小波最好有较高的正则性。
2.5 对称性及线性相位
选择具有对称性或反对称性的小波函数具有以下2个优点:其一，人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感；其二，如果小波有线性相位特性，在对图像边缘进行对称扩展时，重构图像边缘部分失真较小；而非对称滤波器的非线性相位在图像编码时所产生的误差易导致边缘错位，形成巨大的感观误差。
以上分析了小波基的基本性质及其与图像压缩编码的关系，得出适合图像压缩的小波基应具有以下性质:
(1) 对称性(线性相位特性):小波基具有对称性可以减少重构图像边缘部分失真;
(2) 正交性和双正交性:双正交小波基牺牲了一部分正交性，但其他性质优于正交小波，在图像处理中一般选用双正交小波;
(3) 正则性好:重建小波的正则性越好，得到的图像效果就越好;
(4) 消失矩阶数高:消失距越大，压缩比就越大;
(5) 紧支性:支撑宽度越小，计算复杂度低，便于计算机快速实现。
医学图像作为图像的一种，对其进行压缩时，所选的小波基也应具有以上性质。实验表明双正交小波基具有对称性，而正交小波基没有，双正交小波基的正则性比正交小波基稍差，而两类小波的消失矩阶数和紧支性相当。
3 评价小波基的标准
3.1 编码增益
编码增益在图像的小波变换中是一项重要的指标，反映了子带间能量的紧密度，可以作为小波变换用于图像压缩编码的客观评价标准。编码增益Gain越大，图像的重构效果越好，通常采用如下定义：Gain= 1K∑k-1k = 0σ.2k (∏k-1k = 0 σ.2k ).1/k其中，K为图像经小波分解后子带的个数；σ.2k 是第K个子带的方差。
3.2 变换后图像的熵
图像经小波变换后的熵可作为衡量滤波器优劣的一种尺度，对同一图像进行小波变换后的熵值越低，小波基无失真编码能力越强。在有损压缩的情况下，变换后的图像熵值越小，失真越小，小波基越适于进行图像变换编码。
3.3 低频能量与总能量之比
小波变换是一种能量守恒的变换，变换之后的能量与原始图像的总能量相同，但更为集中，即将整幅图像的能量集中在低频部分，而在各高频了带仅有很少比例的能量，使图像有利于压缩。变换后图像能量越集中，越有利于压缩，小波基越好。在此定义另一小波基的评价参数——低频能量与总能量的之比(E R.用百分数表示)，其定义式为:
ER=ELL/EG，其中，ELL和EG分别表示图像变换后最低频部分能量、图像总能量。
3.4 重构图像峰值信噪比
峰值信噪比(PSNR)表示2幅图像间的差异，是图像重构质量的衡量标准，也是评价各种图像处理压缩方法优劣的一项重要指标。在处理图像和方法相同的情况下，用多种小波基进行实验，所得的峰值信噪比即可作为评价小波基编码性能的标准。峰值信噪比越大，重构图像质量越好，则其选用的小波基越适合用于图像压缩编码。对于灰度图像，峰值信噪比的计算公式如下：PSNR=10log10255.2D
D=1MN∑M－1i=0∑N－1j=0［x(i,j)－x∧(i,j)］.2其中，M，N分别为图像每行和列元素数；x(i,j)为图像在点(i,j)的灰度值；x∧(i,j)为重构图像在该点的灰度值。
由以上分析可得，一个好的、适于图像压缩的小波基不仅要具有对称性、正则性等基本性质，还应该符合以下评价标准：
(1) 编码增益大：评价小波基编码性能的客观标准，编码增益越大，图像重构效果越好；
(2) 变换后图像的熵小：小波基无失真编码能力的度量，其值越低越好；
(3) 低频能量与总能量之比大：其值越大，变换后图像能量集中性越好，越有利于压缩；
(4) 重构图像与原图像的峰值信噪比大：重构图像质量的评价标准，越大图像的重构质量越好。
4 实验结果
用标准灰度图像Lena和一幅医学图像作为测试对象，图像大小均为512×512像素。用Daubechies系正交小波基和双正交小波基对图像进行3级分解，然后分别求出每种小波基的变换后图像的增益、熵、能量比和峰值信噪比。其中在计算峰值信噪比时，为简化计算重构图像直接用最低频子带得出，其他子带设为零。因为人眼对不同频率的信号刺激的响应不同，对低频较敏感，而对高频不敏感，在编码过程中，一般对最低频子带进行精细量化和压缩，高频部分进行粗糙量化，在压缩比较大的情况下甚至可以完全舍去，恢复时以零填充，所以只用最低频子带重构图像的峰值信噪比可以作为评价小波基编码性能的标准。
表1和表2分别为标准图像Lena和医学图像测得的数据，根据这些数据和小波基的基本性质参数，可以选出适合遥感图像实时压缩的小波基。
表1 图像Lena的实验数据
小波基编码增益熵/b/符号能量比PSNRD5/335.583.84698.6625.39D9/334.723.88098.5725.53D9/740.643.75899.2525.66D231.043.91198.8825.00D435.483.85699.0925.31
表2 医学图像的实验数据
小波基编码增益熵/b/符号能量比PSNRD5/323.344.75596.5721.96D9/322.624.82698.5221.79D9/723.064.69598.0322.06D218.134.89697.1321.48D420.364.83297.5521.91
从表中数据可以看出，对于图像Lena双正交小波基D9/7各项指标均占首位，D5/3次之，其他两种较差，正交小波基D4优于D2，但不如双正交小波基，与小波基性质分析中结论相符，D9/7小波基较适于图像压缩。
5 结 语
本文在详细分析小波基的基本性质及其与图像编码的关系，选出数种典型小波基进行实验比较，从对医学图像实验所得数据看，D9/7小波基的综合性能占首位，但D5/3小波基的性能有所提高，正交小波基D2和D4的实验结果较差。另外小波的紧支性决定了小波变换过程的计算量，紧支性越好，支撑宽度越小，计算量越小，有利于实时压缩的实现。D5/3小波基的支撑宽度明显小于D9/7小波基。因此，D9/7小波基适合一般的图像压缩，而在有实时性要求的情况下D5/3小波基较为适合。
参 考 文 献
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作者简介 李云飞 男，1974年出生,甘肃镇原人,硕士，渭南师范学院计算机科学系讲师。主要研究方向为计算机与智能信息处理。
朱安福 男，1972年出生，河南永城人，博士生。从事信息融合、目标识别与跟踪技术等研究。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
