人体头部过载模型阶次的辨识与降阶研究
摘要： 针对在系统辨识过程中面临的人体头部过载模型阶次辨识问题，介绍了常用的模型阶次辨识方法及利用残差平方和即损失函数J估计模型阶次的原理，并基于20组试验数据开展人体头部过载模型阶次辨识研究。通过系统辨识获得了人体头部过载模型后，采用Gram阵对Hankel奇异值分解方法实施模型简化和降阶处理。通过比较降阶前后模型，表明模型降阶方法是有效和正确的。
关键词： 人体； 头部过载模型； 模型阶次辨识； 模型降阶
中图分类号： TN911?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2013）22?0031?04
0 引 言
基于试验数据及试验过程的系统建模过程，通常称为“系统辨识”，它是系统建模的一个十分重要的途径。随着现代控制理论的迅速发展，过程控制及计算机技术的不断进步，“系统辨识”已经成为在理论和方法上都有着鲜明特色的学科，已经广泛而有效地应用于航空航天、生物工程、经济系统等诸多领域，也为人体头部过载研究提供了有力工具。
模型阶次辨识是在给定的模型结构中选择一个合适的模型阶数，使其能够很好地挖掘出所给出数据的特征。如果模型阶数选择太小，将使模型失真，无法完整的表达出数据的特征，如果阶次选择太大，则会出现信息冗余，既降低了计算效率，也会影响到系统状态的识别[1]。所以，合理选择模型的阶次对于人体头部过载辨识研究具有很重要的意义。
1 模型阶次辨识原理
在实际工程应用中，系统的阶次是很难被准确知道的，因为对阶次的了解程度是直接与一个线性差分方程的准确结构有关的，因此阶次的确定也称为系统结构的确定[2]。如果模型的阶次确定得不准确，就可能在控制系统设计中造成严重的问题。常用的阶次辨识方法有行列式比、推广的行列式比、F检验、赤池信息准则等[3]。
在模型辨识过程中，模型阶数估计与参数估计是相互联系，互为条件的。文章详细介绍了残差平方和（损失函数J）估计模型阶次的方法。这是一种简单的但也是最有效的确定阶次的方法，它通过比较不同阶次的模型与测量数据之间的拟合程度，拟合度可用损失函数J来测量：
式中：[θ]是对于一个给定模型阶次n的最小二乘估计。一般来说，n变大，则J下降。但是，当n变得比实际阶次大时，J的下降就不那么明显了。这个性质可以直接用来估计模型的阶次，也就是说，模型阶次的确定可以直接依次计算阶次[n=1，2，…]时的最小二乘估计[θ]及其响应的损失函数J，然后选择当J下降不明显时的阶次作为合适的模型阶次[n]。
2 人体头部过载模型阶次辨识
在此以乘体过载和人体的复杂组合体为研究对象，根据实际具备的试验条件，设计实现了以乘体过载为输入、以人体头部过载为输出的特殊作业条件下人体头部过载试验，采集获取了4名被试者20组试验数据开展系统辨识研究。
本文结合实际分析和工程经验，确定以ARX模型进行系统辨识研究。时不变SISO动态系统的数学模型为：
通过Matlab辨识工具箱中的模型辨识函数，计算和比较ARX模型的损失函数值，并得到最小损失函数所对应的阶次。从模型定阶结果来看，20组试验数据确定的ARX模型多项式A（q），B（q）的阶次范围na，nb都为10，其差异在于纯延迟时间nk不同。阶次结果如表1所示，自动定阶结果如图1所示。
通过数据预处理和模型定阶，确定了每次试验的模型阶次，并通过ARX参数辨识方法确定了模型参数。将多次试验系数平均化，确定了通用化ARX模型，模型结构如下：
3 辨识模型降阶
由于辨识模型阶次较高，不便于实际使用，因此需对模型进行降阶。降阶过程中，既不能过分强调传递函数的准确性，给模型的应用带来许多不便，也不能过分简化传递函数，使系统的能观能控性变得很差。实际上，由传递函数的零极点相销造成的不能控不能观的现象还是比较少的，这是由于实际系统的复杂性几乎不可能使传递函数正好零极点相等，所以实际应用中的不能控不能观的说法只能是一种近似说法，也就是在传递函数中有相近的零极点时，这样的系统就是临界能控能观的，当零极点相近程度很高时，系统就成为不能控不能观系统[3]。
传递函数进行降阶的通用算法是[4]：先将传递函数转化为状态实现，计算可控和可观格拉姆阵，再求两者之积的特征值的平方根（亦称为Hankel奇异值），确定相似变换和平衡实现，接着根据奇异值分布决定降阶模型的阶数，最后将状态方程转化为传递函数。总之，模型降阶的关键就是取出与较小Hankel奇异值相对应的子系统。
数学上定义为：假定状态空间系统（A，B，C，D），Hankel奇异值定义为[5]：
将Hankel奇异值按照降序排列，[σ1≥σ2≥…≥][σm≥σm+1≥…≥σn>0]，[i=1，2，…，n，]当[σm≥σm+1]时，取m作为降阶后系统的阶次，删除平衡模型[Sb]中m+1以后的行和列，得到一个m阶系统，该方法保留了系统可控性和客观性较强的状态，这是通过将这些状态的Gram阵进行奇异值分解而得到的[6]。系统的Hankel奇异值大小可以显示系统各个状态的能量并可以衡量各个状态的可控、可观程度。Hankel奇异值越小，对应的状态能量也就越小，其可控、可观性也就越弱，被称为“弱状态”，在降阶过程中就可以被截去。人体头部过载系统连续时间模型Hankel奇异值计算结果如图2所示。
取阶次m=2，由balred（）函数得到降阶后系统连续时间模型，降阶前后零极点分布对比情况见图3，其中黑色为降阶前模型零极点，灰色为降阶后模型零极点。降阶后模型阶跃响应和脉冲响应对比分析如图4所示，某一名被试者某次试验降阶前后模型对实测数据的拟合情况如图5所示。
由模型降阶前后的响应对比分析可知，当降阶后阶次m=2时，降阶前后模型阶跃响应和脉冲响应变化较大，对实测数据拟合程度较低，因此m=2不可取。
取m=9，由balred（）函数得到降阶后系统连续时间模型，降阶前后零极点分布对比情况见图6。其中蓝色为降阶前模型零极点，绿色为降阶后模型零极点。降阶后模型阶跃响应和脉冲响应对比分析如图7所示，某一名被试者某次试验降阶前后模型对实测数据的拟合情况如图8所示。
由模型降阶前后的响应对比分析可知，当降阶后阶次m=9时，降阶前后模型稳定性和响应变化一致性较好，对实测数据的拟合程度较高，因此取降阶模型阶次为m=9，得到降阶后系统模型为：
降阶后的人体头部过载系统输入/输出传递函数模型为：
降阶后的模型是具有9个零点、9个极点的高阶系统，仍然具有临界稳定特性，可见模型降阶后保留了系统的稳定特性。通过降阶前后模型对阶跃输入信号和脉冲输入信号的响应以及与实测数据的仿真对比来看，系统降阶未改变系统的响应特性。因此，认为系统经过降阶，有效的保留了输入/输出特性及稳定性，并由10个极点、9个零点系统简化为9个极点、9个零点的系统，模型降阶处理正确有效，同时也由此验证了ARX模型辨识定阶方法的正确性和有效性。
4 结 语
计算人体头部过载系统辨识模型的Hankel奇异值，通过观察发现了降阶后的阶次m=2和m=9存在降阶的可能，并通过对m=2和m=9进行降阶尝试。通过模型阶跃响应、脉冲响应及实际输入数据仿真等手段对降阶后模型进行了验证，结果表明模型降阶后的阶次m取9时较合适。由此，获得了降阶后的阶次为9的人体头部过载系统辨识模型，模型降阶处理正确有效，同时验证了ARX模型辨识定阶方法的正确性和有效性。通过对人体头部过载模型阶次的设计和降阶，使得模型更加简洁，对工程应用具有一定的意义。
参考文献
[1] 姚福来.传递函数的降阶处理[J].计算技术与自动化，1990，9（3）：15?18.
[2] 胡寿松.自动控制原理[M].4版.北京：科学出版社，2001.
[3] 李言俊，张科.系统辨识理论及应用[M].北京：国防工业出版社，2006.
[4] 张勇.基于模型降阶法的线性相位IIR滤波器设计[J].北方交通大学学报，1993（1）：87?94.
[5] 魏巍.Matlab控制工程工具箱技术手册[M].北京：国防工业出版社，2004.
[6] 刘佳璐，陈雪波.系统模型降阶平衡法的改进[J].鞍山钢铁学院学报，1999（5）：291?293.
