论单位向量的巧用

摘要：单位向量是一类特殊的向量，是数学中基本概念之一。本文首先介绍了单位向量，然后从利用单位向量求有关函数的最值、证明定理、等式、简化几何中轨迹问题、解有关三角问题以及单位向量与角以及在立体几何中的应用几个方面进行了实例的应用分析，从而达到快捷解题的目的， 最后做了相关的结语。

关键词：单位向量 理解 巧用

向量是现代教学中一个重要的概念。它是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，也是沟通数学与物理及其他学科的桥梁。在中学数学的教学中，向量教学是很有重要研究价值的课题，已经受到人们广泛重视。向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。单位向量是一种特殊向量，在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。

1单位向量的概念

单位向量是一种特殊向量，单位向量是指模等于1的向量。 由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。一个非零向量与其模的倒数的乘积，可得与其方向相同的单位向量。一个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：■，其中■。其中■就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。这个向量是它在直线的一个单位方向向量。

2 单位向量应用举例

2.1.1 利用单位向量求有关函数的最值

例 求函数■的最大值与最小值。

分析：本题中函数等号右边的结构很象两个向量数量积的坐标运算，因此通过构造法，将函数■看作两个向量■与单位向量■的数量积，即■； 然后利用向量数量积的性质■和当■与■同向时，■；当■与■反向时，■，便可求得函数■的最大值与最小值

具体解法如下：

解：设■，■，则■。

■

所以由向量的性质得 ■，得■。

（1）当■与■同向时，y有最大值，■；

（2）当■与■反向时，y有最小值，■。

大家还可利用前面介绍的两个同向单位向量相等的性质，求出函数■取得最大值与最小值时对应的x的角度（此处不再赘述）。

2.1.2 利用单位向量证明定理、等式

例1 证明向量共线定理

向量共线定理阐述如下：对于向量■，若■存在一个实数，使得■

证：必要性：由向量数乘的定义知，■，则存在一个实数■，使得 ■

充分性：当■时，■

当■时，■是向量■方向的单位向量，■是向量方向的单位向量。

因为■，所以■与■是平行向量，且■与■模相等。

当■与■同向时，■=■，则■，令■，则有■

当■与■反向时，■=■，则■，令■，则有■

综上可知，■存在一个实数■，使得■。

评注：利用■形式后，便于学生理解。令■=■或■的过程。简化对公式证明的过程，加深公式证明的理解。

根据已知条件，利用向量分量表示数性积的坐标分量达到证明的目的

例2 已知■，证明 ■

证明：令■，则■，从而■又因为■，所以■，从而■，

即 ■

2.1.3 巧用单位向量可以简化几何中轨迹问题

例1 给定定点■和直线■，B是直线l上的动点，■的平分线交AB于点C，求C点的轨迹方程。

设■

由A，B，C三点共线，得■

即■ ①

又因为∠AOB的平分线，

所以 ■

得 ■

即 ■ ②

由① ，② 消去y，化简即得所求（以下略）. 已知非零向量■，则与■方向相同的单位向量可以表示为■.由此，非零向量■的夹角■可以写为■. 该公式可作这样的理解：两非零向量■的夹角的余弦值等于与■方向相同的两个单位向量的数量积，这结果还说明向量的夹角与该向量的长度无关.

例 O是平面上一定点A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足■，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）。

（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

分析：此题中应把■与■看成是■与■上单位向量。

如图1，作菱形■，设■，则■且■，则■，因■，故■与■同向。

设■，则点在N射线AD上，且■，则P的轨迹即为N的轨迹。由菱形性质可知：AB为∠BAC的平分线，N在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC 的内心，选（B）。

评注：通过例3，可以发现单位向量与角平分线有关。有关平分线问题，往往可联系发现建构单位向量，会使问题解决得更简单明了，且成为解题的心途径。

2.1.4 巧用单位向量解有关三角问题

例1 在直角坐标系■中，已知点■和■，若点C在∠AOB的平分线上■，则■的值是多少？

分析 如图2，在向量■方向、向量■方向分别取单位向量■，则■，■

，，于是■与■共线，

■.

由■，得■，所以■

评注 角平分线问题，往往可联系到构造单位向量，会使问题解决得更简单明了，且成为解题的新途径.

例2 已知■均为非零向量，且满足■，则向量■与向量■的夹角的值.

讲解 根据向量数量积的定义，要求向量■与■的夹角，关键是要求■和■的值.

不失一般性，

设 ■

∴■，■，

即 ■

又 ■

联立解得 ■

■

故 ■

评注 由于向量■与■的夹角与■的长度无关，所以令■是可行的.

2.1.5 单位向量在立体几何中的应用

（1） 单位向量与角

1）二面角的大小，可用两半平面的法单位向量的夹角求之，即二面角的度数与两半平面的法单位向量的夹角相等或互补。

2）直线与平面所成的角，可用平面的法单位向量与该线方向向量的夹角求之，即直线与平面所成的角，与平面的法单位向量与该线方向向量的夹角或夹角的补角互余。

例 在底面是直角梯形的四棱锥■中，■■，求面SCD与SBA面所成的二面角的正切值。

解：建立空间直角坐标系，则：

■，于是■

设平面的单位法向量■

于是 ■

解之 ■

■

■

∴平面SAB的单位法向量■

■

而面SAB与面SCD所成二面角为锐角，

所以与面SCD所成二面角的正切值为■。

由上可知，单位法向量适用于作（公）垂线（距离）、作具体角较难时的解题。此外，平面单位法向量可事先规定一个方向。

（2）涉及单位向量的几个公式

1）■在■方向上的射影■ ，其中■为非零向量■方向上的单位向量。

2）两条异面直线的距离■，其中■为公垂线方向的单位向量，E、F分别为两条异面直线上的点。

3）点P到平面a的距离■，其中■为P点到平面a垂线的方向单位向量，PE是平面a的斜线段。

实际上2）、3）是1）的应用结果。

例3 ：如图3，O为空间中△ABC外任意一点，■问点P的轨迹经过△ABC的什么心？

解：记■则■分别为■方向上的单位向量。

令■，则■

■，而■

∴点P的轨迹是射线AD，

又由 ■

∴■平分∠CAB，

∴点P的轨迹经过△ABC的内心。

3 结语

单位向量在数学中的应用广泛，许多问题都可以用单位向量来简化运算。如在代数中利用单位向量证明定理、等式；有关函数的最值及求值域等问题。在解析几何中利用单位向量简化几何中的轨迹问题。在立体几何中解决单位向量与角的问题等。其特点是方法新颖、运算简捷。

参考文献：

[1] 杜春辉.单位向量——形式的巧用[J].中国科技信息，2008，17：224.

[2] 张效松.单位向量[J].科技教学，1998，20（1）：54～55.

[3] 冉光华等. 单位向量解题例说[J].解题探讨，2002，24（1）：49～50.

[4] 朱伊德.薛纭.空间几何[J].高等数学，2008，30（1）：84～86.

[5] 武增明.应用单位向量巧解题[J].高中数学教于学，2007，3：17～18.