函数思想在解题中的应用
摘 要：作为高中学习的重点，数学可以说是一门比较复杂又具有广泛应用的学科。除了高考分数占比非常大以外。数学作为一门工具性学科，对我们每个人的未来进阶学习与发展都有着非常重要的意义。本文通过介绍了高中数学中所涉及的函数思想应用与解题之中，简要的分析了数学思考方法的应用形式和其产生的有益帮助。
关键词：函数思想；应用；高中数学；方程；不等式
一、函数
函数的概念对于我们高中学生来说应当非常熟悉，是我们中学数学中不不可少的一部分内容。1673年，数学家莱布尼茨首先使用了function一次来表示“幂”，后经多位知名数学家的不断发展和完善，使用“函数function”的定义越来越明确，函数在数学和多个学科展现出它的重要意义，推动了很多方面科学的发展和进步。关于“function”一词的翻译源于我国清代著名的数学家李善兰，它在翻译《代数学》一书进入中国时，将“function”一词翻译为“函数”代表了“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即我们所熟知的一个量随着另一个量的变化而变化，或是一个量中包含另一个量。
函数最初的定义为：一个变化过程中的两个变量x、y，如果对于任意的一个x的值，都有唯一确定的一个y的值和它对应，那么就可以称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量，x的取值范围叫做函数的定义域，而y的取值范围叫做这个函数的值域。当随着函数研究的发展，以及集合、映射观念的引入，函数的定义又有了新的表达方式，即有A，B两个非空数集，若存在某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，都有唯一确定的数在集合B中和它相对应，那么就称对应关系f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，表示为y=f（x），x∈A或f（A）={y| f（x）=y，y∈B}。同样的，x称为自变量，y称为因变量，集合A为函数的定义域，与x相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f（x）|，x∈A}叫做这个函数的值域。
二、函数思想的概述
所谓函数的思想是我们高中数学中一种非常基本，同时也是非常重要的数学思想。可以认为函数思想，是一种运用运动和变化的观点，综合集合与对应的思想，去分析和解决数学问题中的等量关系，然后建立起或构造出相应的函数关系，再通过运用这个函数的图象和性质去分析、转化问题，进而解决问题的方法。当我们面对一个数学问题时，如果从函数的角度进行审题和分析，实际过程是将一个问题放置在一个动态的过程中去考查。所以，可以说函数思想是一种处理问题的策略，而且很多时候应用函数的思想可以简化问题的求解过程，我们可以将这种策略应用于很多综合题的解答上面。
三、函数思想在解题中的应用
（一）数列中的函数思想
数列，作为一种特殊的函数，对于在数列方面问题的解析中应用函数的思想是比较直观的。我们首先可以发现等差数列、等比数列等的通项公式以及求和公式都可以直接看做是一个关于项数n函数，所以在数列的问题解决中应用函数的思想，不仅够提高解题效率同时还有利于增强对于数列本身的理解。
下面以一道数列方面的例题为例，如下述例一：
例一：设数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，试证明 解析过程：上述例题考察的是虽然是数列知识，但是单纯的通过数列的性质求解并不容易，通过分析可以看到，如将数列视为特殊的函数，可以很容易的化繁为简。 首先，设这个等比数列{an}的公比为q，依题意有q>0，an>0。 所以有Sn+2>Sn+1>Sn。 因为A（Sn，Sn+1），B（Sn+1，Sn+2）是函数y=qx+an的图像上的两个点，有kOA>kOB，所以有>?S 2 n+1>SnSn+2， 因此有2lgSn+1>lgSn+Sn+2， 即 （二）函数思想三角中的应用 三角函数作为另一种特殊多大函数形式，除了具有一般的函数的普遍性质以外，还有其特殊性。应用函数的思想解题不仅方便，而且对于三角函数的理解更加直观。如欲求三角函数式sin4θ+4sin2θcos2θ+cos4θ的最大值，运用函数的思想设f（θ）=sin4θ+4sin2θcos2θ+cos4θ，则有： f（θ）=（）2+2sin22θ+（）2 =1-sin22θ+2sin2θ =-（sin2θ-2）2+3 显然，当sin2θ=1时，有最大值。 通过函数的方法，很容易就可以分析所求三角函数式的最大值。 （三）向量中的函数思想 向量是我们中学数学中一种非常重要的工具，通过向量的转化，可以讲空间几何问题转化为函数问题，这是因为向量的方向、数量积和向量的模等都很容易转化为函数坐标。同样，通过函数思想来分析向量问题，也可以加深对向量性质的理解。 如已知向量i（1，0），j（0，1），若函数f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的图像在y轴上的截距为1，在x=2处的切线的方向向量为（a-c）i-12bj，并且当x=1时函数可取得极值。此时求①f（x）的解析式；②f（x）单调区间；③f（x）的极值。 这道关于向量的问题较为复杂，需要综合运用导数、向量等知识，首先问题的关键是求输出f（x）的解析式，其中需要用到（a-c）i-12bj=（a-c，-12b），将导数与向量很好的统一起来，可得到切线的斜率为，有f（2）=，进而可以比较简单的对上题进行求解。 四、总结 通过上述几个简单的例子，我们可以看到，函数思想的运用对于多个方面的数学解题都有一定的帮助，可以说函数思想可以分散应用在中学数学的诸多分支中。对于数学的学习，我们要不仅掌握好牢固的基础，对定理、公式有比较透彻的了解；同时更要学会养成数学的思考，灵活的运用所掌握的数学知识，将其转化为协助我们解决问题的工具。 作者简介：吴轶凡（1999-），男，汉族，河北辛集人。
