面向海洋环境的装备选优与排序方法

　　摘 要:针对海洋环境下的武器装备选择问题,将其转化为带方案偏好、属性权重完全未知且属性值为区间数形式的多属性决策问题。基于主观偏好与客观属性值偏差最小化的思想,提出一个单目标二次优化模型,并利用LINGO软件进行模型求解,求得属性权重。通过对属性值和属性权重的线性集结,得到排序结果。最后通过数值算例,验证了该方法的可行性和操作性。
　　关键词:海洋环境;区间数;模糊互补判断矩阵;线性偏差
　　中图分类号:TP18 文献标识码:A
　　文章编号:1004-373X(2010)03-001-03
　　
　　Solution of Equipments′ Selection and Ordering orient Ocean Environment
　　LIU Mingxing,DENG Su,HUANG Hongbin
　　(College of Information System and Management,National University of Defense and Technology,Changsha,410073,China)
　　Abstract:The solution of equipments′ selection and ordering orient ocean environment by transforming it to multiple attributes decision making problem with preference values on alternatives,in which the attribute weights are completely unknown and the attribute values are given in the forms of interval numbers.The single objective quadratic optimization model is proposed by minimizing the deviation between subjective preference and objective attributes values,and through solving the model by LINGO,the attribute weights can be obtained.Then the equipments are ordered by linear aggregating the attribute values and attribute weights.Finally,a numerical example is given to demonstrate the validity and rationality of this method.
　　Keywords:ocean environment;interval number;fuzzy complementary judgment matrix;linear deviation
　　
　　0 引 言
　　
　　多属性决策(Multiple Attribute Decision Making,MADM)是指从有限个待选方案中经过综合权衡各个属性后,对方案集进行排序,并选出最满意方案的过程[1]。近20年来,多属性决策问题在军事领域的应用中倍受关注。由于测量仪器的不精确性,以及对问题认识不够深入和客观情况的复杂性,人们往往不能准确地确定海洋环境对武器影响的取值,但却能确定一个大致的变化范围。如何根据这些不确定的影响值对给出的武器装备序列进行排序选优已成为一个典型的不确定多属性决策问题。针对这类不确定多属性决策问题的研究已有很多成果。例如,文献[2]根据优势方案的概念,通过构建最优化模型进行优势方案的分析;文献[3]针对属性权重信息不完全的多属性决策问题,给出优劣势排序方法;文献[4]根据传统TOPSIS方法的基本思想,给出一种求解属性权重信息不完全的区间数多属性决策问题的分析方法;文献[5]在文献[4]的基础上提出解决问题的灰色关联分析方法。本文结合提出的问题及以上分析方法,构造主观与客观最小线性偏差模型,提出一种属性权重信息完全不知、属性值为区间数的多属性决策方法。最后通过给出的算例,验证了本文提出的方法。
　　1 定义及问题描述
　　
　　首先定义几个下标集:下标集L={1,2,…,l},K={1,2,…,k}。接下来给出区间数及区间数排序的一些定义和结论。
　　定义1[6] 设a=[aL,aU]={x|aL≤x≤aU}称a为区间数。若aL≥0,则a非负,记为a≥0;若aL=aU,则区间数a为普通的实数。
　　定义2[6] 设a=[aL,aU]为区间数,则称E[a]=aL+aU2为a的期望值。
　　定义3[7] 当a和b同时为区间数或者有一个为区间数时,设a=[aL,aU],b=[bL,bU],且记la=aU-aL,lb=bU-bL,则a≥b的可能度定义为:
　　p(a≥b)=min{la+lb,max(aU-bL,0)}la+lb(1)
　　定义4 给定一组区间数ai=[aLi,aUi],i∈N,将它们两两比较,利用上述可能度公式求得相应的可能度p(ai≥aj),简记为pij,i,j∈N,并建立可能度矩阵P=(pij)n×n,该矩阵包含了所有方案相互比较的全部可能度信息。文献[8]给出排序公式:
　　υi1n(n-1)∑nj=1pij+n2-1, i=1,2,…,n(2)
　　由此可得可能度矩阵P的排序向量υ=(υ1,υ2,…,υn)。
　　定义5 设模糊判断矩阵P=(pij)n×n,若有pij+pji=1,pii=0.5,则称矩阵P是模糊互补判断矩阵。假设对于给定的一组海洋环境要素Φ={φ1,φ2,…,φk},其中φi=[φLi,φUi](i∈K)为区间数,Φ对武器装备Ei(i∈L)的性能影响ai={ai1,ai2,…,aik},其中aik=[aLik,aUik]为区间数。海洋因素对武器装备的影响分析不在本文的分析范围,假设前提是影响矩阵已知:
　　A=a11a12…a1k
　　a21a22…a2k
　　ai1ai2…aik
　　式中:aik=[aLik,aUik]。
　　此即为本文问题的决策矩阵。问题可描述为:
　　E={E1,E2,…,El}:待选武器装备集合,即为方案集,l≥2。
　　Φ={φ1,φ2,…,φk}:海洋因素集,即为属性集,k≥2。
　　ω={ω1,ω2,…,ωk}:海洋因素影响权重集,k≥2,且满足ωj≥0,j∈K,∑kj=1ωj=1。
　　A=[aij]l×k:影响矩阵,即为决策矩阵,且aik=[aLik,aUik]为非负区间数,表示海洋因素φj,j∈K对武器Ei,i∈L的影响值,可以理解为方案Ei关于属性φj的属性值。
　　P=[pij]l×l:方案偏好关系矩阵。
　　文献[10]给出了三种互补标度,利用这三种互补标度构造的判断矩阵均满足定义4,它们都是模糊互补判断矩阵。决策者根据0.1～0.9互补标度对武器装备集Ei,i∈L,进行两两比较,得出模糊互补判断矩阵P。
　　
　　本文要解决的问题就是如何根据影响矩阵A和偏好矩阵P对武器装备集E进行排序,从中选择最优武器或是较优武器集。
　　
　　2 决策模型
　　
　　步骤1:应用区间数运算规则,将影响矩阵进行规范化处理[9]。
　　对于效益型属性,有:
　　bLij=aLij∑li=1aUij,bUij=aUij∑li=1aLij(3)
　　对于成本型属性,有:
　　bLij=1/aUij∑li=11aLij,bUij=1/aLij∑li=11aUij(4)
　　式中:i∈L,j∈K,规范化后的影响矩阵为B=(bij)l×k,bij=[bLij,bUij]。
　　步骤2:将综合属性值转化为模糊互补判断矩阵,并引入线性偏差。设方案的综合属性值为z(ω)=(z1(ω),z2(ω),…,zl(ω)),其中zi(ω)=[zLi(ω),zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit,∑kt=1ωtbUit],用下列线性转换函数把z(ω)转换为模糊互补判断矩阵形式=(ij)l×l,其中:
　　
　　ij=12{1+E[zi(ω)]-E[zj(ω)]}
　　=12{1+∑kt=1(E[bit]-E[bjt])ωt}(5)
　　易知pij+pji=1,pii=0.5,pij≥0,i∈L,j∈K,P为模糊互补判断矩阵。根据模糊互补判断矩阵P=(pij)l×l和=(ij)l×l之间的偏差,引入线性偏差项:
　　
　　dij=pij-pij=12{∑kt=1(E[bjt]-E[bit])ωt+2pij-1}(6)
　　
　　为了使武器装备的选择尽可能地与决策者的主观偏好一致,合理的属性权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωk)使上述线性偏差尽可能的小,因此可以建立如下的优化模型:
　　M-1:
　　
　　min D(ω)=∑li = 1∑lj = 1d2ij
　　=14∑li = 1∑lj = 1{∑kt = 1(E[bjt ]-E[bit ]ωt+ 2pij -1)}2,
　　ωj ≥0,j = 1,2,…,k,∑kj=1ωj=1
　　
　　这是一个非线性二次规划的问题,可以利用LINGO软件进行求解,得海洋因素的权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωk)。
　　步骤3:根据步骤2求得的属性权重可以得到武器装备的综合属性值向量z(ω)=(z1(ω),z2(ω)…,zl(ω)),其中zi(ω)=[zLi(ω),zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit,∑kt=1ωtbUit]。
　　步骤4:利用区间数比较的可能度式(1),算出各武器装备综合属性值zi(ω)(i∈L)之间的可能度,建立可能度矩阵P=(pij)l×l。
　　步骤5:利用式(2)求得可能度矩阵P的排序向量υ=(υ1,υ2,…,υn),按其大小对武器装备进行排序,根据决策者的需要即可得到最优武器装备或者是较优的武器装备集合。
　　
　　3 数值算例
　　
　　下面结合本文背景来验证给出的决策方法。
　　在一次作战行动中,有一组武器装备需要指挥员(决策者)来做出选择,要选择出当时的海洋环境要素对其影响最小,最能发挥武器作战效能的武器装备。假设有2种型号的驱逐舰、2种型号的护卫舰Ei(i=1,2,3,4)可供决策者选择,影响的海洋要素有风速(φ1),能见度(φ2),海浪(φ3)和海流(φ4)。根据当时这些海洋要素的预报值,可以得到它们对上述4种武器装备的影响值矩阵(决策矩阵),见表1。
　　表1 影响矩阵A
　　装备φ1φ2φ3φ4
　　E1[6.1,6.7][7.3,7.9][8.1,8.7][2.1,2.7]
　　E2[7.2,7.8][6.5,6.9][7.8,8.3][2.4,2.8]
　　E3[4.4,5.1][4.3,4.8][6.2,6.8][3.4,3.8]
　　E4[5.3,5.8][4.2,4.7][6.5,7.2][4.1,4.8]
　　注:影响值用0～10之间的数来表示,越大表示影响越大,0表示无影响。
　　假设决策者根据0.1～0.9互补标度给以上武器集合Ei(i=1,2,3,4)进行两两比较,给出偏好矩阵(模糊互补判断矩阵):
　　P=0.50.50.60.80.80.50.30.10.40.70.50.40.20.90.60.5
　　第一步:易知海洋环境对武器装备的影响为成本型,根据式(4)可求得归一化后的影响矩阵,见表2。
　　表2 归一化后的影响矩阵B
　　装备φ1φ2φ3φ4
　　E1[0.21,0.25][0.17,0.20][0.20,0.24][0.26,0.40]
　　E2[0.18,0.22][0.19,0.22][0.21,0.25][0.25,0.35]
　　E3[0.27,0.35][0.27,0.34][0.26,0.31][0.18,0.25]
　　E4[0.24,0.29][0.28,0.34][0.25,0.30][0.15,0.20]
　　第二步:建立模型(M-1),如下:
　　
　　min=
　　05×[(003ω1-002ω2-001ω3+003ω4+06)2+
　　(008ω1+012ω2+0065ω3-0115ω4+02)2+
　　(0035ω1+0125ω2+0055ω3-0155ω4+06)2+(011ω1+010ω2+0055ω3-0085ω4-04)2+(0065ω1+0105ω2+0045ω3-0125ω4-08)2+(0045ω1-0005ω2+001ω3+004ω4+02)2],
　　ω1,ω2,ω3,ω4≥0;∑4j=1ωj=1
　　
　　利用LINGO进行求解得出海洋因素的权重向量ω=(0.88,0.12,0,0)。
　　第三步:根据第二节中步骤3~5求得最终排序向量υ=(0.186 9,0.146 4,0.357 8,0.308 9),得到的排序结果为E3>E4>E1>E2。最优选的武器为E3。
　　
　　4 结 语
　　
　　提出了海洋环境下的武器装备排序与选优问题的多属性问题解决方法。该方法在完全不知影响因素权值的前提下,根据主观偏好与客观区间属性值偏差最小化原理,建立二次优化模型,通过对该模型的求解,解决了海洋环境下武器装备的排序与选优问题。从数值算例的结果可以看出,求得的权重向量中零值较多,产生这种结果的原因可能是因为决策者的偏好比重占据太大,如何更好地平衡决策者的偏好与客观属性值的关系,也是以后应该研究的问题。
　　
　　参考文献
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