辅助函数的构造方法初探
摘要：本文以实例论述了构造辅助函数的四种方法，分析什么样的的题型适合用哪种构造方法，通过典型例题介绍利用辅助函数解题的优点。
关键词：中值定理 辅助函数 构造方法
构造辅助函数是数学分析解题中的一种方法，它依据数学问题所提供的信息构造函数，利用辅助函数解决原数学问题，构造辅助函数可使原数学问题简单化，灵活化。构造函数的思想不仅能拓宽思路，活跃思维，而且也能提高分析问题和解决问题的能力。
1.分析法
分析法即从欲证的结论倒推，借助于逻辑关系导出辅助函数。
例1.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可微，且f（a）<0，f（b）<0，c∈（a，b），f（c）<0。
求证：存在一点ξ∈（a，b）使得f（ξ）+f'（ξ）=0.
分析：要证的结论成立即证[f（x）+f'（x）]x=ξ=0，即ex[f（x）+f'（x）]x=ξ=0.由函数乘积求导运算法则得辅助函数g（x）=f（x）ex.
证明：作辅助函数g（x）=f（x）ex，由题设有g（a）<0，g（b）<0，g（c）<0，对g（x）在[a，c]和[c，b]内应用零点定理，故存在x1∈（a，c），x2∈（c，b）使g'（x1）=g'（x2）=0.再对g（x）在[x1，x2]内应用罗尔定理，故■使■。
即■， 所以■
罗尔定理：若函数■满足如下条件：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ使得f'（ξ）=0.
2.由果索因法
分析问题的条件和结论，由结论倒推所需要的条件，从而找出构造的辅助函数必须满足的条件及应具备的性质，进而构造出所需要的辅助函数。
例2.求■.
分析：此题求数列极限，如果直接用数列极限的有关方法来求比较麻烦，但如果利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题。
解：由于■-■+■=■■*■.作辅助函数■，则f（x）在[0，1]上连续，从而可积，即■.由积分定义，原式=ln2。
3.原函数法
原函数法是指从所要证明的结论出发，通过倒推分析原函数的形式，从而构造辅助函数的方法。
构造辅助函数的步骤：
（1）将中值定理中的ξ换成x，使等式成为方程.
（2）把方程看作是以x为未知函数的微分方程，解微分方程.
（3）用观察法或积分法求出原函数.
（4）求出解后把任意常数移到一端，则另一端即是所求辅助函数.
例3.若f（x），g（x）在[a，b]上可导，且g'（x）≠0，则存在一个ξ∈（a，b）使
■.
分析：将结论中的■换成x，则有：
■
即■，对等式两边积分得：
f（a）g（x）+g（b）f（x）=f（x）g（x）.
即可确定辅助函数F（x）=f（x）g（x）- f（a）g（x）-g（b）f（x）。
证明：作辅助函数F（x）=f（x）g（x）- f（a）g（x）-g（b）f（x），由题设条件知（1）F（x）在[a，b]上连续；（2）在（a，b）内可导；（3）F（a）=-g（b）f（a），F（b）=-f（a）g（b），即 F（a） =F（b）， 则由罗尔定理，至少存在一个■使得■0. 即■
■， 由已知■，得：
■
4.常数k值法
如果一个微分中值式满足：1.等式一端是只与区间端点a、b及其函数值有关的常数，另一端只含导函数和函数在区间内某点（中值点）的值，就称它是分离式。2.如果把式中b换作a时，原式是0=0形式，就称它是对称式。对可化为具有1、2两个特点的微分中值公式，即可分离且可对称化的中值公式，我们可以按下述程序证明。
（1）把原式化成分离形式，令等式一端的常数等于k。
（2）再把原式化成对称式，把含有中值定理中的导数式换成k，把b换为x，再把右端移于左端，把所得式子记作F（x），这就作出辅助函数。
（3）由k及F（x）的作法得F（a） =F（b）。
（4）对F（x）使用罗尔定理，便有■使f'（ξ）=0。
（5）若原式中含有二阶导数，可由f'（ξ）=0解出k后，再用一次中值定理，就可得到欲证的结果，若含有在中值点处更高阶的导数，可仿此继续，直到所要的结果。
例4.证明：若a ■ 证明：令■，作辅助函数■，由k及F（x）的作法得F（a） =F（b）=0， 由罗尔定理便有■（a，b）使■=0 ，即■，从而■，应用柯西中值定理，当■时，便有■，故命题成立。 结论：通过对证明中构造辅助函数的方法归纳和分析，更深地体会到构造函数的思想不仅能拓宽思想，活跃思维，而且也能提高分析问题和解决问题的能力。 参考文献： [1] 刘玉琏，付沛任.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997 [2] G·波利亚，《怎样解题》[M].科学出版社，1982年 [3] 陈文灯，考研复习指南[M]. 北京：世界图书出版公司，2009 作者简介：潘学功（1967—），男，河北滦南人，河北软件职业技术学院副教授，硕士，从事学生管理和高等数学、统计学与信息技术的教学与研究。
