函数及其性质探究

摘 要：函数是高中数学学习的一个重要组成部分，对我们的逻辑思维能力和分析能力都有一定的考查。而函数，作为数学学科中一个重要的基本组成部分，可以说，函数知识的学习贯穿整个数学学习过程。函数作为高等数学的一个重要概念，同时起到了承接高中数学学习与大学数学学习的作用。本文通过对高中数学学习中函数性质的讨论，进一步展开阐述了函数的性质与意义，体现了函数学习的重要意义。

关键词：函数性质；周期性；奇偶性；对称性

一、函数的概念

函数（function），最初的定义是在十七世纪，著名数学家莱布尼茨，首次使用“function”（函数）一词来表示“幂”，后来一直沿用该词表示曲线上点的横、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量，后演变为现代的函数概念。中国关于函数的概念始于中国近代著名数学家李善兰，他在其著作《代数学》中首次将函数概念的function译为函数，他称之为“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，用以解释函数指的是一个量随着另一个量的变化而变化的概念。

1.函数的定义

按照现代课本上的定义：假设A，B是两个非空的数集，如果按照一定的对应关系，设为f，有集合A中的任意一个数x，在集合B中都能找到唯一确定的数y和x对应，那么就称f ： A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A或

f（A）={y | f（x）=y，y∈B}。其中x被称作自变量，y被称为因变量，集合A是函数的定义域，与x相对应的y叫作函数值，函数值的集合{f（x） | x∈A}称为函数的值域。

定义域，值域和对应法则是我们常说的函数三要素。一般表示为y=f（x），x∈D。

2.函数的表示方法

2.1解析式法。这是我们计算和解题中最常使用的一种函数表达方法。即使用相应的数学关系的等式去表示题中两个变量之间的函数关系。如f（x）=a0+∑ancos

+bn sin

或简单的f（x）=ax+b。其优点在于可以简明、准确、清楚地表示出函数的数量关系；但缺点是需要经过复杂的运算才能得到对应值，并且在实际问题中，有些函数关系并不一定可以用表达式表示出来。

2.2列表法。即用列表的方式来表示两个变量之间的对应关系。优点在于通过表格，已知自变量的值和与之对应的函数值一一对应，一目了然；缺点在于只能列出部分对应值，不能体现函数的全貌。

2.3图象法。是将函数的自变量与因变量的值分别作为横坐标和纵坐标，然后在直角坐标系内描出它的对应点，这些点组成的图形就叫做该函数的图象。

2.4语言叙述法。即使用简单通俗的语言文字进而描述函数的关系。

二、函数的性质

1.奇偶性

若对于函数的定义域内任意x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；相反的若对于函数f（x）定义域内的任意X都有f（-x）=f（x），就称f（x）为偶函数。一般的，若函数f（x）不具有上述两种性质，则f（x）不具有奇偶性。同样的，函数也可以同时具有上述的两种性质，则f（x）既是奇函数，又是偶函数。

2.单调性

设函数y=f（x）的定义域为A，那么若对于定义域A内的某个区间B内的任意两个自变量x1，x2，当x1

（f（x1）>f（x2）），那么f（x）在区间B上是增函数（减函数）。

3.周期性

若函数y=f（x）对于定义域内的任意x，均存在一个不等于0的常数T，使f（x+T）=f（x）恒成立，即称函数f（x）为周期函数，T被称为它的一个周期。

4.函数图象的对称性

函数图象的对称性分为轴对称和中心对称两种对称方式。

三、函数性质的研究

在解决函数综合问题的时候，定义域是函数最为重要的限制条件之一，但它同样具有一定的隐蔽性，很多时候在解题过程中很容易因为忽略定义域的限制条件而造成误解。因此，在函数解题与研究的过程中，一定要树立起“定义域优先”的原则。可以看到，确定函数的定义域是解决函数问题的先决条件，所以对于一个函数问题的解决，首先需要搞清楚自变量的取值范围。

例1：求下述函数的定义域

y=+（x-1）0

解：依题意有

3-x>0

x≠0

x-1≠0

得x<3，且x≠0，x≠1，

所以，函数的定义域为{x|x<3，且x≠0，x≠1}

如上述例题所示，已知函数的解析式求其定义域，此类问题其实就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围。通过正确的解不等式及不等式组就可以完成解题。我们常常遇到的对变量有限制的运算法则有： I.分式中分母不可为零； II. 偶次方根下的被开方数不能为负数；III. 零次幂的底数不能为零；

IV. 对数的真数大于零，且底数大于零且不等于 1；

V.当y=tan x时，x≠K+，k∈Z。

同时需要注意的是在求解实际问题时，函数的定义域问题中，除了解析式对自变量的限制外，实际情况对自变量的限制也应当引起重视。

对于函数的奇偶性、单调性、周期性我们可以通过下面的例题做一个统一的讨论。

例2：已知函数y=f（x），x∈R，现给出如下三个论述：

⑴f（x）是奇函数； （2）f（x）的图象关于点（x1，0）（x1≠0）对称；

⑶f（x）是以2x1（x1≠0）为周期的周期函数。以其中任意两个论述为条件，另一个论述为结论进行证明。

证明：（1）、（2）（3）

由f（x）是奇函数f（-x）=-f（x），且f（x）的图象关于点（x1，0）对称。

有f（x1+x）=f（x1-x）

又f（2x1-x）=-f（x）

可得f（2x1-x）=f（-x），并推出f（2x1+x）=f（x）

故函数f（x）是以2x1为周期的函数。

（1）、（3）（2）

由f（x）是奇函数f（-x）=-f（x）

函数f（x）是以2x1为周期的周期函数，所以f（2x1+x）=f（x）

可得f（2x1+x）=-f（-x），因此f（x1+x）=f（x1-x）

即函数f（x）是关于（x1，0）对称的对称函数。

（2）、（3）（1）

函数f（x）的图象关于点（x1，0）（x1≠0）对称；有f（x1+x）=f（x1-x）

函数f（x）是以2x1 （x1≠0）为周期的周期函数，可以有

f（x1-x）=f（x1-x）

即函数f（x）为奇函数。

通过上述的一系列证明过程，可以得到结论，即以其中任意两个论述为条件，另一个论述为结论的命题均为真命题。也可以通过上述论证，比较清楚地看出了函数三方面性质的相互关系。在对函数奇偶性、周期性以及对称性等进行了比较系统的论述后，可以根据函数公式和图象确定得到如下的结论，可以应用在平时的解题过程中，简化思考与计算过程。

1.若函数f（x）为偶函数，且函数图象关于点（x1，0）对称，则该函数为周期T=4x1的周期函数。

2.若函数f（x）为奇函数，且函数图象关于点（x1，0）对称，则该函数为周期T=2x1的周期函数。

3.若函数f（x）为奇函数，且函数图象关于直线x=x1对称，则函数为周期T=2x1的周期函数。

参考文献：

[1]高中数学课本

[2]唐瑞娜，白淑岩等.高等数学（工科类）：清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004：5

[3]陈林松.与函数对称性、奇偶性、周期性有关的命题及其应用[J].试题与研究，2007-09-30.