反比例函数的应用

摘要： 反比例函数在初中数学中占有重要地位，它是三大函数之一。本文阐述了反比例函数在函数值的计算与比较，与解决生活中的问题两方面的典型题型，并结合近年中考常见题型进行分类归纳。

关键词： 图象和性质 应用

反比例函数y=■（k为常数，k0）的图象是双曲线，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。所谓反比例函数的应用是指运用反比例函数的有关概念、性质去解决实际问题。

一、 利用反比例函数的图象和性质进行函数值的计算与比较

比较函数值的大小，我们通常是利用反比例函数的性质，依据其增减规律来判定。有时候画出草图，结合交点情况，直接分析得到。

例1：若点（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）在反比例函数y=■的图象上，则下列结论正确的是（ ）

A.y1>y2>y3 B. y2>y1>y3

C.y3>y1>y2 D. y3>y2>y1

答案：C

分析：本题考查学生对反比例函数图象及性质的理解。

（-2，y1），（-1，y2），（1，y3）三点不在双曲线的同一个分支上，前两个点在第三象限内的分支上，第三个点在第一象限的分支上。显然第一象限内的分支上的点的纵坐标大于第三象限内分支上的所有点的纵坐标，也就是说“y随x的增大而减小”是指在各个象限内的分支而言，不是笼统地概括。

利用反比例函数性质：

反比例函数y=■的图象在第一、三象限内，且每一个象限内y随x的增大而减小，（-2，y1），（-1，y2）在第三象限内，（1，y3）在第一象限内，所以y1<0，y2<0，y3>0，而-2<-1，所以y1>y2，即y3>y1>y2.

二、 反比例函数在实际生活中的应用

在实际生产和生活中，应用函数知识解题的关键是建立函数模型，即根据题意列出函数解析式，然后根据函数的性质，综合方程组、方程、不等式及图象的知识求解。

例2：（2009·河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=■（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

■

分析：把反比例函数图象知识与现实生活中的消毒问题联系在一起，既可以体现数学知识的多方面价值，又能够调动学生积极思考。本题既考查了数形结合的思想，又检测了待定系数法的运用。

解：（1）将点P（3，■）代入函数关系式y=■，

解得a=■， ∴ y=■.

将y=1代入y=■， 得t=■，

∴ 药物释放完毕后y与t的函数关系式为y=■（t >■）.

再将（■，1）代入y=kt， 得k=■.

∴ 药物释放过程中y与t的函数关系式为y=■t，（0≤t≤■）.

（2）解不等式■<■， 解得t>6，

∴ 至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.

总之，反比例函数的这些知识是后续的函数知识的基础。以上我通过例题分析了反比例函数基础知识在不同类型题目中的应用，我们在以后的学习中一定要打好基础，学会举一反三。

参考文献：

[1]《高效学习法》 薛金星 北京教育出版社

作者简介：聂娟， 1969.4，女，云南保山，汉 ，昆明市实验中学，大学本科， 中学一级教师.