小波变换在数字图像处理中的应用

　　摘 要：小波变换在数字图像处理中的应用是小波变换典型的应用之一。由信号分析中傅里叶变换的不足引出小波变换，然后简单介绍了小波变换的定义和种类，分析了小波变换的性质和Mallat算法，总结了小波变换在数字图像处理中的四种应用：基于小波变换的图像压缩、图像去噪、图像增强和图像融合，分析了四种应用的过程及特点，同时进行了相应的Matlab试验与仿真。试验结果表明，小波变换在数字图像处理中的应用切实可行、简单方便、效果好、有很强的实用价值，有较好的应用前景。
　　关键词：小波变换； 马拉特算法； 图像处理; Matlab
　　中图分类号：TN911-34文献标识码：A
　　文章编号：1004-373X(2011)01-0091-04
　　
　　Application of Wavelet Transform in Digital Image Processing
　　WANG Jian-ping1,2, ZHANG Jie1
　　(1．College of Electronics and Information，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2.95037 Unit of PLA，Wuhan 430060，China)
　　Abstract： The application of wavelet transform in digital image processing is one of the typical applications of wavelet transform. The wavelet transform is introduced for the lack of Fourier transform in the signal analysis, the definition and types of the wavelet transform are proposed briefly, and its properties and Mallat algorithm are analyzed. Four kinds of applications of wavelet transform in digital image processing are summarized（image compression, image denoising, image enhancement and image fusion based on wavelet transform), the processes and characteristics of this four kinds of applications are analyzed, meanwhile the corresponding Matlab experiment and simulation are made. Experimental results show that it is practical, simple, convenient and effective, and has a strong practical value and a good application prospects for the wavelet transform in digital image processing.
　　Keywords： wavelet transform； Mallat algorithm； image processing; Matlab
　　
　　0 引 言
　　在经典的信号分析理论中，傅里叶理论是应用最广泛、效果最好的一种分析手段。但它只是一种纯频域的分析方法，不能提供局部时间段上的频率信息。随后的短时傅里叶变换STFT,虽然可以同时分析时域和频域信息，但是由于STFT的固定时窗，对于分析时变信号是不利的。这是因为时变信号中的高频一般持续时间很短，而低频持续时间比较长，所以都希望对高频信号采用大的时窗，对低频信号采用小的时窗进行分析。小波变换正是在这样的背景下发展起来的。近年来，小波变换作为一种变换域信号处理方法，得到了非常迅速的发展，在信号分析、图像处理、地震勘探和非线性科学等诸多领域得到了广泛的运用。小波理论为各种信号及图像处理方法提供了一种统一的分析框架，成为当前信号与图像处理等众多领域的研究热点。
　　1 小波变换［1-2］
　　小波变换是一种窗口大小固定不变，但其形状可以改变的局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分可以取得较好的时间分辨率；在信号的低频部分，可以取得较好的频率分辨率，从而能有效地从信号(如语音、图像等)中提取信息。
　　小波变换分为以下两种：
　　1.1 连续小波变换
　　引言中提到的短时傅里叶变换(STFT)，其窗口函数ψa(t,)=ψ(t－a)e－it是通过函数时间轴的平移与频率限制得到的，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此，特引入窗口函数Ψa,b(t)=1|a|Ψt－ba，并定义平方可积分函数的连续小波变换为：
　　WTf(a,b)=1a∫∞－∞f(t) Ψ*t－badt, a≠0
　　(1)
　　式中:a称为尺度参数;b称为平移参数。
　　 很显然，并非所有函数都能保证式(1)中的变换对于所有f∈L2(R)均有意义；另外，在实际应用中，尤其是信号处理以及图像处理的应用中，变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段，最终目的需要回到对原问题的求解，因此还要保证连续小波变换存在逆变换。同时，作为窗口函数，为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性，经常要求函数Ψ(x)具有如下性质：
　　|Ψ(x)|≤C(1+|x|)－1－ε，|()|≤C(1+|ω|)－1－ε
　　式中:C为与x,无关的常数;ε>0。
　　1.2 离散小波变换
　　进行数字信号处理时要采用离散化处理。离散小波变换针对尺度参数a、平移参数b进行离散化，最常用的是二进制动态采样网络，每个网格点对应的尺度为2j，平移为2jk，即:
　　Ψj,k(t)=－2－j/2Ψ(2－jt－k), j,k∈Z
　　(2)
　　该离散化小波称为二进制小波。
　　二进制小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数，它对应为观测信号的某部分内容。如果想进一步观看信号的更小细节，则需要提高放大倍数，即减小j值。在这个意义上讲，小波变换被称为数学显微镜。
　　2 离散小波变换的Mallat算法［3-4］
　　Mallat在1988年提出Mallat算法，计算离散小波变换，其基本思想如下：假定已经计算出一函数或信号f(t)∈L2(R)在分辨率2－j下的离散逼近Ajf(t)，则f(t)在分辨率2－(j+1)的离散逼近Aj=1f(t)可通过离散低通滤波器Ajf(t)的滤波来获得。
　　令(t)和φ(t)分别是信号f(t)在分辨率2－j逼近下的尺度函数和小波函数，则其离散逼近Ajf(t)和细节部分Djf(t)可分别表示为:
　　
　　Ajf(t)=∑∞k=－∞Cj,kj,k(t)
　　(3)
　　Djf(t)=∑∞k=－∞Dj,kφj,k(t)
　　(4)
　　式中:Cj,k和Dj,k分别为2－j分辨率下的粗糙系数和细节系数；Ajf(t)和Djf(t)分别称为逼近(粗糙)信号和细节信号。
　　根据Mallat算法的分解思想，Ajf(t)分解为粗糙部分Aj+1f(t)和细节部分Dj+1f(t)之和，即：
　　Ajf(t)=Aj+1f(t)+Dj+1f(t)
　　(5)
　　其中:
　　Aj+1f(t)=∑∞m=－∞Cj+1,mj+1,m(t)(6)
　　Dj+1f(t)=∑∞m=－∞Dj+1,kφj+1,m(t)(7)
　　信号相当于通过两个互补滤波器(一个高通滤波器、一个低通滤波器)形成的细节信号和逼近信号。但在实际操作时，一个1 000点的采样信号，经过两个滤波器将分别输出1 000个值，共2 000个采样，是原始信号的2倍。为了减少数据量，小波分析中引入下采样(Downsampling)，即从每两个采样点中取出一个作为采样值且保持数据量不变。
　　分解过程可以重复进行，即逼近信号可以继续被分解，因此一个信号可以被分解为许多低分辨分量，称之为小波分解树(Wavelet Decomposition Tree)。虽然理论上小波分解是可以无限进行下去的，但实际中分解只能进行到细节信号为一个采样，因此进行小波变换时应根据信号的特性选择合适的分解阶数。
　　3 小波变换在数字图像处理中的应用
　　小波变换是对传统傅里叶变换的集成和发展，其多分辨率分析具有良好的时频特性。对高频采用逐渐精细的时域步长，可以聚焦到分析对象的任意细节，因此特别适合于图像信号这一类非平稳信号的处理，已成为一种图像处理的新手段。其具体应用如下：
　　3.1 基于小波变换的图像压缩［5］
　　基于二维小波分析的图像压缩方法有很多，比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。二维小波分析用于图像压缩是小波应用的一个重要方面。一个图像做小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像。不同分辨的子图像对应的频率是不同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点的数值都接近于0，越是高频，这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像的最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解去掉高频部分而只保留低频部分。
　　3.2 基于小波变换的图像去噪
　　用二维小波分析的方法对二维信号进行去噪处理的步骤如下：
　　(1) 二维信号的小波分解。选择一个小波和一个小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。
　　(2) 对高频系数进行阈值量化。对于从1~N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。
　　(3) 二维小波重构。根据小波分解的低频系数和经过修改的从第一层到第N层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。
　　其中，重点是如何选取阈值和对阈值的量化。
　　3.3 基于小波变换的图像增强［6］
　　小波变换将一幅图像分解为大小、位置和方向不同的分量。在做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小，这样就能够有选择地放大所感兴趣的分量而减少不需要的分量。
　　3.4 基于小波变换的图像融合
　　图像融合是将同一对象的两个或更多的图像合成在一幅图像中，使得它比合成前的任何一幅图像都更容易为人们所理解。图像融合分为三个层次：像素级融合、特征级融合及决策级融。
　　像素级融合是最低层次的融合，也是后两级的基础，它是将各原图像中对应的像素进行融合处理，精度比较高，因而备受人们的重视。像素级图像融合方法大致分为三大类：简单的图像融合方法；基于塔形分解的图像融合方法；基于小波变换的图像融合方法。
　　图像融合这一技术可运用于多频图像理解以及医学图像处理等领域。在这些场合，同一物体部件的图像往往是采用不同的成像机理得到的。
　　4 试验与分析［7-10］
　　以图1为例,压缩前原始图像的大小：
　　Name SizeBytes Class
　　X 256×256 524 288 double array
　　Grand total is 65 536 elements using 524 288 bytes
　　图1 基于小波变换的图像压缩对比
　　第一次压缩后图像的大小：
　　NameSize Bytes Class
　　 ca1135×135 145 800double array
　　Grand total is 18 225 elements using 145 800 bytes
　　第二次压缩后图像的大小：
　　NameSizeBytesClass
　　 ca275×75 45 000double array
　　Grand total is 5 625 elements using 45 000 bytes
　　由图1和数据可以看出，第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比较小(约为1/3)；第二次压缩提取的是第一层分解低频部分的低频部分(即小波分解第二层的低频部分)，其压缩比较大(约为1/12)，压缩后的图像质量较好。这是一种简单的压缩方法，只保留原始图像的低频信息，不经过其他处理，即可获得较好的压缩效果。以此类推，还可以只提取小波分解第3,4,…层的低频信息。从理论上说，可以获得任意压缩比的压缩图像。
　　由图2的试验结果可以看出，第一次去噪已经滤掉了大部分的高频噪声，但是将去噪图像与原始图像相比可以看出，第一次去噪的图像中还含有不少高频噪声；第二次去噪是在第一次去噪的基础上，再次去除其中的高频噪声，从去噪的结果可以看出，第二次去噪具有较好的去噪效果。
　　图2 小波去噪后的图像对比
　　如图3所示，给定一个wbarb.mat图像信号，由于图像经小波分解后，图像的轮廓主要体现在低频部分，细节部分体现在高频部分，因此可以通过对低频部分的系数进行增强处理，对高频部分的系数进行衰减处理，从而达到图像增强的效果。
　　如图4所示，小波变换的图像融合就是对待融合图像进行多层小波分解,得到图像的低频分量(近似) 和图像的高频分量(细节) ,然后分别对低频分量和高频分量采用相应的融合算子和融合规则进行融合处理,得到融合图像的低频分量(近似) 和高频分量(细节) ,然后进行小波逆运算得融合后的图像。
　　图3 图像增强
　　图4 图像融合
　　5 结 语
　　从上述小波变换在图像处理中的应用可见，基于小波变换的图像压缩的特点是压缩比高,压缩速度快,压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以
　　抗干扰；而且基于小波变换的图像去噪、图像增强和图像融合操作简单方便，使用效果好。由此足可以看出，当今国际上公认的时-频分析工具的强劲优点，小波分析与图像处理的结合，将使图形、图像处理进入更高的层次。
　　参 考 文 献
　　［1］杨福生.小波变换的工程分析与应用［M］.北京：科学出版社，1999.
　　［2］李世雄.小波变换及其应用［M］.北京：高等教育出版社，1997.
　　［3］魏明果.实用小波分析［M］.北京：北京理工大学出版社，2005.
　　［4］徐长发，李国宽.实用小波方法［M］.武汉：华中理工大学出版社，2000.
　　［5］薛年喜.Matlab在数字信号处理中的应用［M］.2版.北京：清华大学出版社，2008.
　　［6］周旋，周树道，黄峰，等.基于小波变换的图像增强新算法［J］.计算机应用,2005，25(3):606-608.
　　［7］王嘉梅.基于Matlab的数字信号处理与实践［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2007.
　　［8］徐明远，刘增力.Matlab仿真在信号处理中的应用［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2007.
　　［9］郑辉，吴谨.基于小波分频与直方图均衡的图像增强算法［J］.现代电子技术,2010,33(16):149-150,153.
　　［10］罗军辉，冯平.Matlab 7.0在图像处理中的应用［M］.北京：机械工业出版社,2005.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文