非线性耦合下延时复杂网络系统的牵制控制
摘 要
本文针对一类由Lur’e系统组成的小世界网络，在Matlab平台研究其同步问题，设法只对网络中的一部分节点进行控制达到使得整个被控网络同步的效果。基于绝对稳定性理论，得到了保证该网络实现全局同步的时滞独立判据。仿真中以蔡氏振荡器组成的小世界网络为例，研究了该网络是否可达同步以及同步状况的影响因素，得出了只控制一个节点使得整个网络达到同步的条件。
【关键词】Matlab仿真 Lur’e系统 小世界网络 牵制控制
1 小世界网络简介
在网络理论中，小世界网络是一类特殊的复杂网络结构，在这种网络中大部份的节点彼此并不相连，但绝大部份节点之间经过少数几步就可到达。
用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。
本文利用蔡氏振荡器对小世界网络的运行情况在matlab中进行仿真。
2 小世界网络仿真研究
（1）对蔡氏振荡器中各个元件赋值：
R=1.3Ω，R0=0.0011Ω，C1=0.1096F，C2=1F，L=0.0680H，Ga1=-1.1384s，Gb1=-0.7225s。
耦合强度c=0.01，控制增益d=0.3，R1=0.3Ω。
（2）为系统中各个变量赋值：
A1=[-1/（R*C1）， 1/（R*C1） ， 0；
1/（R*C2）， -1/（R*C2）， 1/C2；
0 ， -1/L ， -R0/L]；
B=[-1/C1 ； 0 ； 0 ]；
C=[ 1 ， 0 ， 0]；
D=[1/R1*C1，0，0；0，0，0；0，0，0]；
耦合强度为输入值：di1=d；延时为0：tao=0。
（3）创建一个N*N的全0矩阵建立初始的环状的规则网络，结点网络有N个节点，每个结点向与它最近邻的m个结点连出边，求出邻接矩阵。
（4）逆时针的边重连，从节点到N-m-1。
（5）随机选取一个数r=rand（1）；
取出邻接矩阵中的非0元素位置：
if r<=p， unconect=find（A（i，：）==0）；
求出非0元素个数：M=length（unconect）；
正向取整：r1=ceil（M*rand（1））；
连接这一对点，构成SW小世界网络：
if r1>=1
A（i，unconect（r1））=1；
A（unconect（r1），i）=1；
matrix（i，j）=0； matrix（j，i）=0；
（6）恢复小世界网络的邻接矩阵：
for k=1：n
（7）去掉自身节点形成的环A（k，k）=0；
（8）为连接矩阵对角线上元素赋值
am=A；
am=diag（sum（am'））+am；
（9）耦合强度矩阵cm（i，j）表示节点i和节点j之间的耦合强度。
cm=c*am；
（10）定义系统中其余各个参数：
fCx=zeros（3*n，1）；
g=Gb1*x（1：3：end）+（Ga1-Gb1）/2*（abs（x（1：3：end）+1）-abs（x（1：3：end）-1））；
fCx（1：3：end）=g；
x1=reshape（x，3，n）；
dx=reshape（A1*x1，3*n，1）+Bm.*fCx+reshape（transpose（（cm.*am）*transpose（D*x1）），3*n，1）；
dx=dx-c*di1*cat（1，D，zeros（3*（n-1），3））*x（1：3）；
此时我们不难发现随着小世界网络中连接概率的大幅增加，尽管状态量似乎还有着同步性，但状态量之间的差异已经十分明显，可认为此时无法实现牵制同步。
进一步的研究发现，当两点间存在连接的概率在p<0.283时，对网络中一个节点施加控制，可以使得整个网络达到牵制同步、且各个节点状态相一致，在0.283
3 结论
本文通过Matlab仿真算法，将小世界网络的连接情况用蔡氏振荡器的实例模拟出来，同时三个状态量又能很好的刻画系统的同步情况，为同步判据的检验提供了一个直观的方法。
实验结果表明了由于小世界网络介于规则和随机网络之间的特性，对于小世界网络的牵制控制效果，与小世界网络中任意两点间存在连接的概率有很大关系，从而找到两个概率临界值0.283和0.562。当任意两点存在连接的概率小于0.283时，验证了判据的有效性，整个系统可以通过控制一个节点达到同步。而当任意两点存在连接的概率大于0.562时，整个系统无法通过控制一个节点达到同步，牵制控制方法不可行。
参考文献
[1]Liu Z X，Chen Z Q，Yuan Z Z.Pinning control of weighted general complex dynamical networks with time delay[J].Journal of Physics A，2007，（01）：345-354.
[2]Li K，Lai C H.Adaptive-impulsive synchronization of uncertain complex dynamical networks[J].Physics Letters A，2008，1601-1606.
作者简介
邓乐来（1993-），男，北京市人。现为北京交通大学理学院本科生在读。研究方向为复杂网络。
彭名书，男，北京市海淀区人。博士学位。现为北京交通大学博士生导师。研究方向位复杂网络。
作者单位
北京交通大学理学院 北京市 100044
