浅谈中学数学的整体代入策略

摘要：用整体代入法解题是数学的基本方法之一，运用整体的方法去分析问题与用一般的方法有所不同。用整体的观念去研究问题能够舍去琐碎的环节。因此整体代入方法显得简单、快捷，有其优越性。

關键词：聚零为整；避繁就简；整体代入

解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之.殊不知，这种“只见树木、不见森林”的思考方法，常常导致解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废.其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解.一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法.整体思想方法是一种从全局入手，从大处着眼，聚零为整，纲举目张地去把握事物的共性联系或结构的思想方法，这种“聚零为整，一举击破”的思想方法，完全不同于分类讨论的“化整为零，各个击破”。我们在数学学习中，有时运用整体代入方法来分析问题和解决问题，会起到一种简洁的效果。整体代入求值，是指通过观察，把解题的注意力和着眼点放在问题的整体结构上，从而触及问题的本质，达到求值的目的，它是数学解题一个极其重要的策略，是提高解题速度的有效途径。

一、直接进行——整体代入

方法分析：把已知条件看作整体直接代入问题求值。

例1.如果a+b=5，那么= 。

分析：本题是直接代入求值的一个基本题型，a、b的值虽然都不知道，但我们发现已知式与要求式之间有某种联系，只要把式中的a+b的值代入到要求的式子中，即可得出结果。

解：略

例2.若x2-3x=6，则6x-2x2= .

分析：这两个看起来好象没有什么关系的式子，其实却存在着非常紧密的内在联系，要求式是已知式的相反数的2倍.我们可作简单的变形：由x2-3x=6，可得3x-x2=-6，两边再乘以2，即得6x-2x2=-12.

解：略

例3.已知，求代数式的值。

分析：由倒数的定义，我们可由得到，

于是=，然后将及 代入，即可求得代数式的值：。

解：略

二、改变问题——整体代入

方法分析：从问题入手，把问题转化成具有的已知条件再进行整体代入。

例1：2m-1=2，求3+4m的值。

分析：这道题有些让人不知所措，其实仔细观察要求式与已知式，是不难发现解决问题的方法的.由已知式2m-1=2，我们可以得到2m=3，而3+4m又可以看作是3+（22）m，它又可以转化为3+（2m）2，所以本题结果是12。

解：略

例2：已知a+b=-2，ab=3.求2（ab-3a）-3（2b-ab）的值。

分析：如果直接求出a、b再求解会比较繁锁。注意观察题目，我们可以发现问题中含有已知条件的形式。这里我们可以把问题进行转化，从而进行整体代入。

解：原式=2ab-6a-6b+3ab

=5ab-6（a+b）

=5×3-6×（-2）

=15+12

=27

三、改变条件——整体代入

方法分析：从条件入手，把条件转化成具有的问题形式再进行整体代入。

例1 已知x2-xy=-3， 2xy-y2=-8，求代数式2x2+4xy-3y2的值。

分析：本题中的x， y值显然不能求出，观察已知与未知中x2， y2的系数关系可知，需要对已知条件中的式子依照系数关系进行恰当的变形。

由x2-xy=-3得，2x2-2xy=-6①；由2xy-y2=-8得，6xy-3y2 =-24②。①+②得（2x2-2xy）+（6xy-3y2）=（-6）+（-24）=-30.即2x2+4xy-3y2=-30.

解：略

例2 已知x=-1，那么= 。

解：因为x=-1，得，所以x2+2x=2。

因此，原式=。

例3：设求的值。

分析：本题a、b的关系不够明朗，如果我们先把已知分式右边去分母，化为=5，即+=3。而且要求的代数式可以化为含有+的形式。

解：由条件，得=5，即+=3.

所以=-2=9-2=7。

四、综合应用

方法分析：以上三种方法不是孤立存在的，它们可以有机地结合在一起。通过观察、分析出条件与问题的关系、经过化简转化、再进行整体代入。

例1：用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x2+ （p-2）x+1=0的两个实数根，求代数式（m2+mp+1）·（n2+np+1）的值。

解：法一

=4。

法二 ∵m、n是关于x的方程的两个实数根，

∴m2+（p-2）m+1=0，即m2+mp+1=2m。同理，n2+np+1=2n。

∴（m2+mp+1）·（n2+np+1）=2m·2n= 4mn = 4。

同是整体代入，显然解法二较简便。

例2：，则的值。

分析：先将已知条件进行通分：，所以 =3 即3xy=x+y，

然后转化问题：=，最后进行整体代入：==9。

解：略

面对纷繁复杂的过程，有时不必考虑细节，而是将若干个过程视为整体，通盘考虑，定能化繁为简。运用整体代入的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。运用整体代入的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的。由上可见，在中学数学中，强化整体思想观念，灵活选择方法进行整体代入，常常能帮助我们走出困境，走向成功。

参考文献：

[1]《中学数学研究》2005年02期

[2]《初中生辅导》2007年35期

[3]鲍曼《中学数学方法论》哈尔滨工业大学出版社 2002年6月

[4]项昭义《奥林匹克型一题多解》奥林匹克出版社 2001年1月

[5]黄希庭《心理学》上海教育出版社 2006年5月