解析数学分类讨论思想的实际应用

摘 要：介绍了分类讨论思想的基本概念，指出其基本原则，包括分类标准明确、分类完整、按需求逐层分类、保持分类简洁，并据此论述了分类讨论思想的应用方法。以求解函数、概率和数列的题目作为例子，介绍了在解决数学问题时应当如何采用该思想。分析了分类讨论思想在生活中的指导价值，指出其方法论意义和对逻辑思维锻炼的有利作用。

关键词：数学；分类讨论；应用

一、分类讨论思想概述

（一）基本概念

分类讨论思想提炼于具体的解题过程。某些数学问题的条件不具有唯一性，使得结论也不具有唯一性，比如说某一函数表达式含有字母参数，这些参数的取值变化会使函数的性质产生差异，这将导致题目有不同的结论。这时就需要将已知条件按一定的标准进行分类，将一个大问题分割成一个个小问题，先解决被分割出的小问题，再综合整理小问题的答案，由此确定原题的完整结论。如是即为分类讨论思想的核心内涵。

（二）基本原则

在应用分类讨论思想时有其特定的原则，概括出来有四点：分类标准明确且统一；子问题没有缺漏和重复；复杂问题逐层分类；分类形式力求简单。为了做出正确的分类，首先分类标准要明确且不能混淆，三角形按内角角度分是一种分法，按三边长度关系分则又是另外一种不同的分法，如果把钝角三角形和等边三角形归于一类，那么就会显得混乱，因为此时的分类标准是缺乏一致性的。在确定分类标准后，只有保证子问题既没有缺漏又没有重复，才能保证结果的正确性，针对一些不确定条件较多的问题，需要多层分类，不同层级的分类之间也应保证界限清楚。将问题进行分类是为了解决问题，而很多问题的分类角度不止一种，如何从中选择最简洁、最不易出错的一种，也是分类讨论思想中必须考虑的一部分。

（三）应用方法

根据分类讨论思想的基本原则，逐点对照，避免出错，便是分类讨论思想的应用方法。首先理清问题，确定可供分类的所有依据，然后保证分类的完备性，在进一步的解题中如果有需要则再做下一层分类，最后检查解决方法是否简洁，是否可以优化。

二、数学题目中的分类讨论

（一）求解函数问题

问题：求解以x作为未知数的不等式：sx2-（s+2）x+2<0。

这道题中x是需要求解的未知量，而s则作为一个取值待定的已知量。通过观察可以发现，s是二次项的系数，s是否为0决定了该不等式是一次还是二次；当s不为0时，s的正负又决定了不等号左边的二次函数的图像的开口方向；当s的正负划分好之后，在s>0的情况下，1与2/s的大小关系又影響了最终结果的取值区间，因此，本题一共需做三层划分。

（1）s=0，不等式化为-2x+2<0，解为：x>1；

（2）s≠0，不等式化为s（x-1）（x-2/s）<0

①s<0，不等式化为（x-1）（x-2/s）>0，解为：x>1或x<2/s；

②s>0，不等式化为（x-1）（x-2/s）<0；

i：0

ii：s=2，不等式无解；

iii：s>2，解为2/s

（二）求解概率问题

问题：设有集合S={2，6，7，9}，M和N是S的两个不同子集，要求M中的全部元素都比N中的元素小，那么M和N的组合共有多少种可能？

这个问题中的条件可以转换一种说法，首先M和N都不为空集，其次M中元素的最大值比N中元素的最小值小，因此可以从N中最小元素的取值为切入点来进行分类讨论。

（1）N中最小为6，则M有1种选择，N有4种，即1*4=4种组合；

（2）N中最小为7，则M有3种选择，N有2种，即3*2=6种组合；

（3）N中最小为9，则M有7种选择，N有1种，即7*1=7种组合。

于是共有4+6+7=17种选择。

（三）求解数列问题

问题：已知等比数列an的公比为q，如果要求其前n的和Sn>0，则公比q的取值范围是多少？

这道题目中没有说明q是否为1，不能直接套用求和公式，而需要分类讨论。

首先，易知公比q是不为0的，且数列的首项a1>0，下面分类讨论。

（1）q=1，则Sn=n*a1>0成立；

（2）q≠1，则Sn=[a1（1-qn）]/（1-q）>0，因为a1>0，所以该式可等价于（1-qn）（1-q）>0，解得q>1或-1

因此公比q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）。

三、生活实际中的分类讨论

（一）方法论意义

分类讨论思想虽然属于一种数学思想，但它的应用却绝不仅限于数学。自古以来，谋士与良将在分析战术战略时，都会根据具体情况，提出“上中下”三策，古代兵书中也有先把敌人可能取胜的所有可能性都抹杀掉，然后再设法战胜敌人的说法，这可视作分类讨论思想的古老运用。对于我们来说，没有机会排兵布阵，但在处理日常事务中，却是可以将分类讨论思想作为一种方法论来使用，比如说，备用计划的拟定，通常就是针对可能出现的意外情况做好预案，分析“可能出现的意外情况”，便是分类讨论思想的应用。

（二）逻辑思维的锻炼

作为一种解决问题和总结经验的方法，经常运用分类讨论的方式解决问题对于锻炼逻辑思维有着莫大的帮助。在分类讨论的过程中，需要有准确的判断、不留漏洞的分析、条理分明的思路和总揽全局的归纳，借由笔者数学老师的一句话来说，这是“思维量的提高”。

四、结论

在数学这门学科中有很多研究思想值得发掘，分类讨论便是其中极具实用性的一个。这种思想的要义在于将原问题进行分割，再对各个部分逐个击破，既可用于数学上的解题，又可用于日常生活中策略问题的解决，毫不夸张地说，可以将分类讨论思想提升到方法论的高度，作为一般性的指导方法以供人们选择。

参考文献：

[1] 姬梁飞.分类讨论思想应用的四大特征[J].学周刊，2016，（34）：156-158.

[2] 张法宽.分类讨论思想在解题中的应用[J].科教文汇（下旬刊），2013，（10）：154+158.

[3] 姚轶群.浅析初等数学问题中的分类讨论思想[J].科技信息，2013，（06）：370-371.