数字n宫格的矩阵探索

在金庸大师的笔下，数字九宫格问题显得很神秘，使得号称“神算子”的瑛姑百思不得其解，还得靠聪明机灵的黄蓉来解答。然而，这种答案唯一吗？显然不是！

自然数1至9按三行三列排列，使得各横，纵，两对角线之和均相等的排列如下：

■

排法之多，令人目不暇接，但细加分析，不难发现如下特点：

1. 正中数字为：■，

2. 各横纵，两对角线之和均为■。

探索一：是否任意的1——nxn（■）按n行n列都可以这样排？

研究发现：只有■时，才有这样的排列存在。且正中数为：■，各横，纵，两对角线之和均为■。

如5x5的排列 ： 如7x7的排列 ：

■

探索二：用矩阵来研究这种排列的数据分布特点

一.矩阵的概念：

矩阵是把一些数据按i行j列排在一起的一种数据表现形式，其中■。矩阵的数据用花括号括起来，■表示矩阵中第i行第j列的元素，■表示i行j列的矩阵，其中■。■的矩阵叫做方阵。不难发现，数字n宫格都是方阵。矩阵有左、右两条主对角线。

观察一：矩阵内数据的特点：

■

在3x3矩阵（1）中，右主对角线数以正中数据5为主，从左下角到右上角是连续三个数4，5，6，

在5x5矩阵中，右主对角线数以正中数据13为主，从左下角到右上角是连续的五个数11，12，13，14，15，

在7x7矩阵中，右主对角线数以正中数据25为主，从左下角到右上角是连续的七个数22，23，24，25，26，27，28，

……，

观察还发现：“1”总是出现在正中数据所在的列之首。随着数据的增多，在次对角线上也出现了连续的数据。

观察二：同一n宫格的不同排法与矩阵间的相互转换：

（一）行列互换

以九宫格矩阵的8种排法为例：

矩阵（2）是保持矩阵（1）中间列不变，第一列和第三列互换；

矩阵（3）是保持矩阵（1）中间行不变，第一行和第三行互换，

矩阵（4）是对矩阵（2）做上述行变换。

（二）矩阵和它的转置

对于矩阵中的所有元素，■和■互换，形成的新矩阵，叫做原矩阵的转置矩阵，表示为■

■

九宫格矩阵中的矩阵（5）是矩阵（1）的转置矩阵，（6）是矩阵（2）的转置矩阵，（7）是矩阵（3）的转置矩阵，（8）是矩阵（4）的转置矩阵。

所以只要排出数字n宫格的一种排法，其他排法就可遵循上述矩阵规律一一排出。