基于ARMA模型的气温衍生品定价研究
[摘 要] 我国幅员辽阔，各地区地理差异很大，天气因素时空分布不均，天气异常变化幅度较大，亟需开发出适用于我国国情的天气衍生品以应对天气风险，天气衍生品的创新有着巨大的发展空间。通过沈阳市近50年的历史日平均气温数据，采用基于ARMA的时间序列方法构建了一个具有很好拟合优度的气温预测模型，并以此为基础对天气衍生品进行定价。这需要加快气象数据服务的公开和政府的支持，严格监管天气衍生品的开发及其市场运行，以推进我国天气衍生品的开发及市场发展。
[关键词] ARMA模型；天气衍生品；定价研究
[中图分类号] F713.5 [文献标识码] B
一、引言
天气因素是人类历史上最难以控制和预测的不确定性因素之一。天气变化会影响产业和企业的生产经营活动。可以说，各行各业的财务状况几乎都与天气有着千丝万缕的联系。
天气衍生品的出现，给人们应对天气风险提供了一条有效途径。天气衍生品的核心问题是天气衍生品的定价问题，而天气预测模型的准确选取是实现天气衍生品合理定价的关键。本文拟在已有研究的基础上，以基于温度的天气衍生品作为研究对象，通过构建ARMA时间序列模型对温度变化过程进行建模，并采用蒙特卡罗仿真方法对天气衍生品进行定价，以便为我国开发天气衍生产品提供一定思路。
二、数据与研究方法
（一）数据来源与预处理
本文数据的采样区间为沈阳市1963年1月1日至2014年12月31日的日平均气温数据，剔除了所有闰年2月29日的记录，共计18980项数据。经过Eviews软件处理，得到沈阳市日平均气温趋势图，见图1。
图1沈阳市日平均气温变化图（1963/01/01-2013/12/31）
由图1可以看出，沈阳市日平均气温呈现出明显的周期性，类似正弦函数，季节效应明显。
（二）模型的设定
由前文分析可得，沈阳市日平均气温数据的变动过程具有明显的周期性，其变化路径类似于正弦函数，可用sin（ωt+？渍）的形式表示。t表示时间，以天为单位，取t=1，2，3……，？渍为相角。日平均气温的季节性变化周期为一年，剔除闰年2月29日的气温数据后，取？渍=2？仔/365。此外，受温室效应影响，每年的气温都会有微量上升，可以合理假设这种微弱的变化是线性的，用Bt表示。因此，日平均气温的变化过程可以表示为：
Tt=A+Bt+Csin（ωt+？渍）+εt （1）
其中，Tt为时间t的日平均气温，A、B、C和？渍为未知参数，εt为残差项，取？渍=2？仔/365。
为便于参数估计，对式（1）作如下等式变换：
Tt=A+Bt+C[sin（ωt）cos？渍+cos（ωt）sin？渍]+εt （2）
整理可得：
Tt=A+Bt+Ccos？渍sin（ωt）+Csin？渍cos（ωt）+εt （3）
由于cos？渍和sin？渍是常数，因此可将式（3）看成一个线性方程：
Tt=a+bt+csin（ωt）+dcos（ωt）+εt （4）
从而有：
A=aB=bC=■？渍=arctan（d/c） （5）
其中，？渍=2？仔/365。
三、估计与结果分析
（一）ARMA模型的估计
用Eviews软件对方程（4）进行估计，结果见表1、表2：
表1 初步估计结果
由表1的分析结果可得，虽然各变量的系数都十分显著，但D-W检验值仅为0.57，说明模型存在严重的序列相关性，需要对其进行修正，故而引入ARMA模型。当引入ARMA（2，2）后，D-W值达到2.001897，说明基本不存在序列相关，各系数也十分显著，模型的拟合效果很好。见表2。
表2 ARMA模型估计结果
结合上述公式，得到a=80.18138，b=0.017793，c=-42.53233，d=-172.7380，结合式（5），从而可以得出日平均气温变化的模型为：
Tt=80.18138+0.017793t-177.89721sin（ωt+1.32937）+μt
μt=1.381625μt-1-0.405027μt-2+εt-0.573243εt-1-0.291102εt-2 （6）
其中，？渍=2？仔/365。
（二）ARMA模型估计结果的验证
用分析所得的ARMA模型对沈阳市2014年的日平均气温值进行预测，可以看到拟合效果非常好。见图2。
图2 模型预测结果
四、基于温度的天气期货定价
参照雷晶晶对天气期货的定价方法，本文只考虑基于温度的天气衍生品合约的赔付特征，以HDDs为研究对象，探讨基于温度的天气期货的定价问题。HDDs的表达式为：
HDDs=max（0，（Tref - Tiavg））
其中，i=1，2，3，…为指定的天数，Tiavg为第i天的日平均气温，Tref为基础气温，根据我国国情，取Tref =18℃。
假设T为合约到期日，C为合约名义价值，S（T）为到期时标的资产的实际价格，F（t）为远期合约在时刻t的价值，r为常数的无风险利率。
理论上，当无风险利率是常数，期货合约与远期合约有相同的到期日和交割日时，期货合约价格等于远期合约价格，即
F（t）=C×E[S（T）] （7）
以HDDs期货合约为例，预期合约的终值即预期的HDDi之和，HDDs期货价格为：
E[S（T）]=■Ti=0E[HDDi]=E[■Ti=0max（0，（Tref - Tiavg）] （8）
对于时刻t，HDDs期货合约的价格为：
F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg） （9）
在（9）式中，由于时刻t之前的气温数据是已知的，故■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）为已知数，仅■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）需要通过蒙特卡罗仿真获得。
以沈阳市2014年1月1日至1月31日作为合约期限，采用蒙特卡罗法，计算出在这一期限内的HDDs的累计值。经过100000次模拟后，模拟值波动范围已经很小，达到仿真要求。
表3 沈阳市2014年1月份累积模拟相对误差值
由此可得HDDs期货合约的价格为：
F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）=100×823.2=82320
即在2014年1月1日，沈阳市2014年1月份的累积取暖指数HDDs期货合约价格为82320元。
五、推进天气衍生品开发及市场发展的政策建议
我国幅员辽阔，各地区地理差异很大，天气因素时空分布不均，天气异常变化幅度较大，亟需开发出适用于我国国情的天气衍生品以应对天气风险，因此天气衍生品的创新有着巨大的发展空间。在我国开发天气衍生品，需要有关方面提供有利支持：
（一）加快气象数据服务的公开。气象数据属于国家重要的海量基础数据，一般研究机构难以获取。希望气象部门能以公共服务品的形式公开气象数据资料。
（二）加强政府的支持力度。开发设计天气衍生品，需要大量气象学、金融学及数据分析等方面的专业人才，并承担较大风险，故而需要政府给予一定的政策支持。
（三）严格监管天气衍生品的开发及其市场运行。发挥市场监管作用，加强行业自律，加大法律监管力度，营造良好的环境以促进天气衍生品的推广与发展。
[参 考 文 献]
[1]刘玮.2012年全球灾害回顾与应对（二）[N].中国保险报，2013-01
[2]陈靖.天气期货在中国的开发及应用[J].上海金融，2004（12）：10-13
[3]韩金山，谭忠富，刘严.略论发展我国的天气风险市场[J].国际电力，2004，8（6）：10-13
[4]雷晶晶.天气衍生品定价模型浅析[J].青年科学，2010（1）：：1-3
[责任编辑：王凤娟]
