基于曲面拟合的图像分割算法

　　摘 要：传统分割方法，在光照不均匀情况下，很难得到理想的分割结果。针对这种情况，提出一种基于曲面拟合的阈值曲面分割方法。首先利用偏离项和光顺项构造拟合曲面方程，然后使用在统一的大光顺项因子条件下求解的拟合结果，来构造自适应的偏离因子与光顺因子，最后利用这些自适应因子第二次精确拟合阈值曲面。实验表明，该方法对于照度不均匀的图像，分割结果明显优于传统全局阈值法。
　　关键词：图像分割；拟合；阈值曲面；B样条
　　中图分类号：TP391文献标识码：B
　　文章编号：1004-373X(2008)22-106-02
　　
　　Image Segmentation Based on Surface Fitting
　　YU Jiandong,KONG Yueping
　　(School of Information and Control,Xi′an University of Architecture,Xi′an,710055,China)
　　Abstract：The traditional segmentation method cannot get the ideal result under the non-uniform illumination.With regard to this situation,a segmentation method using threshold surface based on surface fitting is proposed.Firstly,using deflection item and fairing item to construct the equation of fitting surface.Secondly,In order to construct the adaptive weight factors,using the result of fitting surface with more heavy fairing item,then fit the threshold surface exactly again.The experimental result shows that the method has better than traditional method.
　　Keywords：image segmentation;fitting;threshold surface;B-spline
　　
　　1 引 言
　　
　　图像分割是计算机视觉领域中极为重要的一环，是实现图像内容识别之前首先要完成的工作。分割效果的好坏，决定了识别正确率的高低。
　　传统的全局阈值法，只有在对双峰特征的图像时才有较好的效果。而当图像中存在照度不均匀、或者背景灰度变化等情况，则往往达不到令人满意的分割结果。因此自适应阈值分割技术应运而生，它主要利用图像的局部特征，根据不同的区域自适应地选取相应阈值，构造一个用于分割的阈值曲面。其中分割效果比较好的如近些年出现的基于变分的图像分割，它利用图像的零交叉点为插值点，通过极小化一个能量函数插值出所需的阈值曲面。但是变分方程的求解过程是一个迭代过程，不能满足带钢生产在线检测实时性的要求。
　　因此，本文提出一种基于B样条的二次阈值曲面拟合算法，首先对背景粗略拟合来构造权值调整矩阵，然后根据权值矩阵对背景再次精细拟合，整个算法的框图如图1所示。
　　
　　2 算法模型
　　
　　一般含有缺陷的钢板图像，可以理解为由平滑的背景和灰度突变的缺陷前景构成。如果能够得到背景图像，再通过一定的平移，也就得到了将图像的背景与前景分离的阈值曲面。文献提到，对数据点的拟合，可以用偏离项加光顺项来实现。因此可以构造一个如下求解阈值曲面的公式：
　　L=α∑mi=1∑nj=1f(i,j)－t(i,j)2+β∑mi=1∑nj=1t"(i,j)2（1）
　　图1 算法框图
　　式（1）中f(i,j)代表原图像的灰度值；t(i,j)代表要拟合曲面的值；t"(i,j)代表拟合曲面二阶导数的值；α>0，β>0，α+β=1，分别表示偏离项因子和光顺项因子。显然对L取极小值的解就是所要的拟合曲面。但是如果直接求解式（1），计算量过于庞大，针对这种情况，文献提供了相当好的解决办法，它提出图像相邻行或列其像素值有一定的相关性，可以看成是由一行行的截面构成，因此可以将式（1）化简为对每一行分别求解：
　　Li=α∑nj=1|f(i,j)－t(i,j)|2+β∑nj=1|t"(i,j)|2（2）
　　则原问题化简为对Li求极小值，来分别拟合每一行的曲线。
　　目前在拟合曲线方面，三次B样条因为有着众多的优点而被广泛应用在实际工程中，所以本文也采用B样条来拟合曲线进行求解。由三次B样条曲线的数学表达式可知：
　　T(t)=∑n+2k=0Nk,3(t)Pk (0　　其中Nk,3(t)为三次B样条基函数；Pk为第k个控制顶点。将式（3）代入式（2）并化为矩阵形式，则式（2）变为：
　　Li=α(Fi－NPi)T(Fi－NPi)+β(N"Pi)T(N"Pi)（4）
　　式中Fi=［f(i,1),f(i,2),…,f(i,n)］T,Pi=［P(i,1),P(i,2),…,P(i,n+2)］T为控制点向量；N=(Nk,3(t))n×(n+2)。因为式（4）中共包含n个方程和n+2个未知数，属于矛盾方程组，因此根据最小二乘法求方程Li/Pi=0，得出：
　　［αNTN+β(N")TN"］Pi=αNTFi（5）
　　用式（5）逐行对图像求解，得到每行的控制顶点Pi，再将这些控制点按照列的方向求解出每列的控制点Pi,j，最后根据双三次B样条曲面公式得到整个拟合曲面。
　　
　　3 偏离因子和光顺因子的自适应调整
　　
　　虽然上述方程能够求解，但是对整条曲线采取相同的权值α，β，结果不很令人满意。这里设想像素点能够根据和背景的偏离程度，来自适应的调整权值的大小，因此考虑改造式（2），使其变形为：
　　Li=∑nj=1αi,jf(i,j)－t(i,j)2+∑nj=1βi,j|t"(i,j)|2（6）
　　αi,j，βi,j分别是针对每一个像素点的偏离项权重和光顺项权重，并且αi,j>0，βi,j>0，αi,j+βi,j=1。还是利用上述模型，按照最小二乘的方法，将式（6）化为矩阵形式：
　　［(AN)T(AN)+(BN")T(BN")］Pi=(AN)T(AFi)（7）
　　其中B=β1
　　β2
　　…
　　βn，A=I－B，I为单位矩阵，其他各项和式（4）相同，则A和B就是所要求的自适应权值矩阵。因此为了拟合背景曲线，首先就要构造自适应权值矩阵，所以本文采用二次拟合的方法：
　　(1) 粗拟合（为了构造权值矩阵）：取α=0.001,β=0.999，按照式（5）求解。这一步只是想要尽可能地平滑曲线，来模拟背景的缓慢变化，因此将光顺项的权值取得非常大，以便消除突变的缺陷前景。然而这样势必会造成和真实像素点的偏差，不过实验表明，这些偏差当中，对背景像素的偏差要小于对前景像素的偏差，于是利用这个特点来自适应的构造光顺权值矩阵B。
　　(2) 精拟合： 假设粗拟合出的某行曲线为ti，原图像相同行的像素为fi，则两者之差为：difi,j=ti,j－fi,j，将difi,j归一化来构造权值矩阵B，其中主对角线上的元素βj,j=difi,j/max(difi,j)，然后就可以按照式（7）求解每一行的拟合曲线。同样再得到每行的控制顶点Pi后，将这些控制点按照列的方向求解出每列的控制点Pi,j，因此便可以得到精拟和的曲面。
　　
　　
　　4 实验结果
　　
　　利用二次拟合的阈值曲面方法对图像进行分割实验，如图2所示是对某一行进行拟合的结果。其中原圈代表实际像素值；实线代表对第一次拟合结果；点线代表第二次拟合后的曲线；可以看出已经比较好的拟合出背景点，并且同时分离出前景点。
　　图2 对缺陷图某一行的拟合结果
　　然后用本文方法和传统全局阈值方法进行比较，结果如图3所示。
　　图3 分割结果图
　　
　　5 结 语
　　
　　由于光照的影响，传统的全局阈值分割技术已经不能得到准确的分割结果，无法应用在光照系统比较复杂的带钢检测环境。因此本文针对这种情况，提出基于曲面拟合的图像分割算法来克服照度不均的对缺陷分割带来的影响。实验表明，该方法对于分割受光照影响的带钢缺陷图像，效果良好。
　　
　　参考文献
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　　作者简介 禹建东 男，1981年出生，陕西人，硕士研究生。主要研究方向为图像处理。
　　孔月萍 女，1965年出生，重庆人，副教授，西安电子科技大学博士生。主要研究方向为图形图像处理、网络数据库。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文