权重约束对组合性能的影响基

摘要：本文研究具有权重约束的均值一方差模型问题。通过实证分析发现，对于风险厌恶投资者，权重约束的主要作用是可以控制部分高风险资产给组合带来的损失，但是对于风险投资者，杈重约束还能对整个均值一方差模型的性能进行很好的改进。

关键词：权重约束；均值一方差模型；组合性能

文章编号：1004-7026（2016）03-0102-02 中国图书分类号：F224 文献标志码：A

尽管Markowitz的均值一方差投资组合理论有许多无可替代的优越性，但该模型仍然存在着一些缺陷。本文主要针对投资者对某些风险资产集合的权重约束问题进行探究，以此对传统的Markowitz均值一方差模型进行适当的修正。所谓的权重约束就是对某些风险资产的投资比例进行一定的限制，我们就将这些限制称之为权重约束，其数学表达式为：

∑x_i≤w，or≥w，or=w

其中，墨是投资组合中资产i的权重，v是给定的限制投资的比例百分数，I表示所受限制的资产集合。

1 国内外文献综述

长期以来，Markowitz均值一方差投资组合理论成为学术界和金融业界的奠基石，该模型首次将风险与收益同时结合到投资者的优化问题中，可以显式表示出投资者的最优决策。在均值-方差（MV）模型中，资产收益的均值和协方差矩阵估计对最优投资决策具有重要的影响，不精确的参数估计容易导致与最优策略相差甚远的投资组合（Michaud，1998），有时，一些具有小市值的风险资产，在最优组合中会有相对过高的权重（Black&Litterman，1991，1992），从而导致真正的分散化失败。最近，DeMiguel，Gadappi，&Uppal（2009）发现，由于参数估计误差的存在，导致均值一方差模型的性能不如最简单的等权重分散化组合。除了上述提到的国外文献，我国许多学者对投资组合理论也有深入的研究。黄永皓，陈曦（2014）提出了含比例型手续费的投资组合优化问题，并设计出了可在线应用的策略迭代算法。刘利敏，肖庆宪（2014）构建了跳一扩散模型下的均值一方差投资选择问题，并得到了最优投资策略和有效边界的解析表达式。

2 基本模型

2.1 均值-方差投资组合模型

假设有n个可投资的风险资产，其随机收益率向量记为r=（r₁，…，r_n）^T期望收益率向量为μ=（μ₁，…，μ_n）^T∈Rⁿ，向量x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ表示风险资产的投资组合权重向量，其中墨表示第i个风险资产的投资权重，风险资产之间的方差一协方差矩阵记为∑，e为分量全为1的列向量。传统的均值一方差模型可以表示如下：其中k是风险厌恶系数。

对于问题（MV），采用通常的最优化方法，能获得如下形式的最优解：

x^*=θt+（1-θ）a

2.2 具有权重约束的均值方差模型

在上述经典的均值一方差模型中，没有考虑投资组合的权重约束。因此，下面我们考虑具有权重约束的均值一方差模型。假设在n种风险资产中，投资者对某些资产施加权重约束，我们称这些资产为受限资产，用L表示受限资产构成的集合。设n维列向量e₁是指示向量，即如果第i个资产属于受限资产L，那么第i分量取值为1，否则此分量取值为0，设w表示受限资产总权重，那么，权重约束可表示为w=∑_ieLx_i=e^T₁x，值得注意的是w可以是正的也可以是负的，负值表示卖空受限资产。

注意到k与θ的关系，加入权重约束后，均值一方差模型可表示为：

（WMV）：

对于问题（WMV），具有如下形式的解：

x^*=u+（w-w_u）s

关于问题（WMV）的显式解，我们发现一些有意义结果：首先，由等式x^*=u+（w-w_u）s可知，加入权重约束后的最优解组合是由两个组合构成，其中，第一个组合是（w-w_u）s，它是加入权值约束后最小方差的自融资组合的线性形式，权重为（w-w_u）；第二个组合是u，它是原（MV）问题的最优组合，与受限资产及其权重无关，它可表示为在加入权值约束但不改变受限资产权重的情况下的超额收益。其次，最优解暗含了两基金分离定理。两个分离基金分别为u和s，均独立于W。

3 实证分析

选取7个风险资产（记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7），其中包括5个国内资产（a1，a2，a3，a4，a5）以及2个国外资产（a6，a7）。并假定，任意两个国内资产的相关系数与两个国外资产的相关系数均为0.3，任一国外资产与任一国内资产之间的相关系数均为0.2。因此，所有资产的期望年收益率和标准差如表1所示。

假定我们仅对两个国外资产（a6，a7）进行权重约束，而且通过对问题（WMV）的优化求解，我们得到了具有权重约束后的资产配置的解析解，即：x^*=u+（w-w_u）s。因此，将表1的数据带入解析解中，即可得到资产的权重配置，进而可以求得资产组合的收益率、方差以及夏普比。为了更好的与MV模型的性能比较，我们也将数据带入MV模型进行计算。具体结果见表2。

从表2可知，如果不限制国外资产的权重，那么在MV模型的最优组合中，国外资产的权重约为44.7%，需要几乎一般财富分配到国外资产上。显然这种财富分配对大部分基金和个体投资者其实是不现实的。如果我们控制国外资产的权重，如，w=0.2时，想对于MV模型，最优组合的期望收益和夏普比均所有下降，这表明权重约束对最优组合产生重要的影响。随着预权重约束值变化，我们发现，最优组合的性能也有明显的变化，见表2中w=0.5和w=0.8情况。

结束语

综上所诉，经过实证分析，我们可以得出以下几点结论：第一，对于风险厌恶程度较小的投资者来说权重约束更有利于提高投资组合性能。第二，对于风险偏好的投资者，对投资组合施加权重约束会使得投资组合的性能超越传统MV模型获得的投资组合性能。总之，权重约束对于投资组合的影响是重大而且重要的，不容忽视的。如果投资者能对投资组合施加适当的权重约束，那么会对投资组合的效用产生重大的影响。