巧用三角代换解题

“三角函数”是高中数学的重要内容，其中三角函数代换应用广泛，变形灵活多样。三角代换在解题过程中有以下特殊功能：

1、 简化过程

有些具有多种解法题目，用三角代换可以使问题简单解答。

例1 求函数y=+的最值.

解 用三角代换可得下面优解.

当θ=0或，即x=1或5时，y最小=2.

由此，可看出用三角代换可以去掉根号、减少变元、简化结构、缩小计算量、简化或避免复杂的讨论.

2 提速功能

通过三角代换可显示隐含规律.

例2已知满足条件x2-2x+y2=0的任意实数对（x，y）均能使不等式x+y+k≥0恒成立，试求k的取值范围.

解： x2-2x+y2=0变换为（x-1）2+y2=1.

这样可以避免失误，促成问题的快速解决.

3 桥梁功能

用三角函数代替原变量，可解决不能直接求解问题.

例3 解不等式x+1x2.

解： 设x=tanα（-πθπ），则原式化为

tanθsecθ-1+tan2θ，即

2sin2θ-sinθ-1π0，

解之得-πsinθπ1

∴-πθπ

∴tanθ-，故x-

这种方法可沟通条件和结论之间的逻辑关系，求得结论。